Calculo

ÁREA ENTRE CURVAS
Inicialmente, la integral definida se ha introducido, en el Capítulo 4, para calcular el área bajo una curva. En particular, para cualquier función f(x) ≥ 0 y continua en [a, b], queríamos hallar el área bajo la curva y = f(x) en el intervalo [a, b]. Empezábamos haciendo una partición del intervalo [a, b] en n sub intervalos de igual anchura, ∆x=b -an. Los puntos de lapartición se denotan por x0 = a, x1 = x0 + ∆x, x2 = x1 + ∆x, y así sucesivamente. Es decir.
Xi = x0 + i ∆x, Para i = 0, 1, 2… n.
En cada sub intervalo [xi–1, xi] construimos un rectángulo de altura fCi para algún ci [xi–1, xi], como indica la figura 5.5. La suma de las áreas de esa n rectángulos se tomaba como aproximación del área A bajo la curva:
A≈i=1nfCi ∆x
Al tomar más y más rectángulos, lassumas de sus áreas se iban acercando al valor exacto del área bajo la curva y ese límite daba lo que se ha llamado integral definida:
A= limn → ∞i=1nfCi ∆x= abfx dx
En esta sección extenderemos esta noción. Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para todo x en [a, b]. Deseamos hallar el área entre las curvas y = f(x) e y = g(x) en el intervalo [a, b] (figura 5.2). Puestoque no sabemos aún cómo calcularla exactamente, vamos a aproximarla usando rectángulos. Como antes, partimos el intervalo [a, b] en n sub intervalos de igual anchura, ∆x=b -an tomando como puntos de la partición
Xi = a + i ∆x, Para i = 0, 1, 2… n.
Ahora sobre cada sub intervalo [xi–1, xi] construimos un rectángulo desde la curva inferior y = g(x) hasta la curva superior y = f(x) (figura 5.3a).La figura 5.3b indica que el i-ésimo rectángulo tiene altura hi = f(ci) – g(ci), para ciertos ci Z [xi–1, xi]. Así, pues, el área del i-ésimo rectángulo es
Área = longitud × anchura = hi ∆x = [f(ci) – g(ci)] ∆x.

http://www.mhe.es/universidad/ciencias_matematicas/smith/home/VOL1_Unidad%205_.pdf
ingles

Applications of defined integrals on environmental engineering
In order to establishsome applications in environmental engineering and know the importance of the handling of these for solving real problems in the field theoretical framework
Area between curves
Initially, the definite integral has been introduced in Chapter 4 to calculate the area under a curve. In particular, for any function f (x) ≥ 0 and continuous on [a, b], we wanted to find the area under the curve y = f (x)on the interval [a, b]. We began doing a partition of the interval [a, b] into n sub intervals of equal width ∆x=b -an , the partition points are denoted by x 0 = a, x 1 = x 0 ∆x, x 2 = x 1 ∆x, and so forth. It is mean:

Xi = x0 + i ∆x, Para i = 0, 1, 2… n
In each sub interval [xi-1, xi] construct a rectangle of height f (C3I) for any ci [xi-1, xi], as shown in Figure 5.5. The sum of theareas of the n rectangles was taken as an approximation of the area under the curve:
A≈i=1nfCi ∆x
To take more and more rectangles, the sums of their areas were approaching the exact value of the area under the curve and that limit was what has been called definite integral:
A= limn → ∞i=1nfCi ∆x= abfx dx
In this section we will extend this notion. They are two continuous functions f and g in [a,b] such that f (x) ≥ g (x) for all x in [a, b]. We want to find the area between the curves y = f (x) and y = g (x) on the interval [a, b] (Figure 5.2). Since we do not know yet how to calculate exactly, are going to approach it using rectangles. As before, we start the interval [a, b] into n sub intervals of equal ∆x=b -an based on the partition points.

Xi = a + i ∆x, Para i = 0, 1, 2… n.Now on each sub interval [xi-1, xi] we construct a rectangle from the bottom curve and = g (x) to the upper curve y = f (x) (Figure 5.3a). Figure 5.3b indicates that the I th rectangle is height hi = f (ci) - g (ci) for certain ci Z [xi-1, xi]. Thus, the area of the i th rectangle is
Area = length × width = hi ∆x = [f (ci) - g (ci)] ∆x.

In this section will extend this notion F and g are two...