CALCULO

EJERCICIO:
Para , halle el polinomio de Taylor de grado n expandido alrededor de x = 0.
SOLUCIÓN.
Se tiene que para todo k. Así, se tiene que el polinomio de Taylor de grado n-ésimoes


Como se estableció la serie de Taylor para alrededor de x=0 converge para todo x; esto indica que la sucesión de sumas parciales converge.
En un esfuerzo por determinar la funciónen la cual convergen los polinomios de Taylor se representan , junto con la grafica de Para , en las figuras de a continuación.

Note que cuando n se hace más grande, las gráficasde parecen estar acercándose a la gráfica de Para . Puesto que se sabe que la serie de Taylor converge y la evidencia gráfica sugiere que las sumas parciales de la serie se aproximan a, es razonable conjeturar que la serie converge a Para . Esto, de hecho, es exactamente lo que está pasando, como podemos demostrarlo usando dos teoremas.




Teorema de Taylor.Supongamos que f tiene (n+1) derivadas en el intervalo , para algún. Entonces, para y el error en usar para aproximar es

Para algún número z entre x y c.
El término del error se llama elresiduo. Este término se parece al primer término despreciado en la serie de Taylor, excepto que se evalúa para algún número z.


EJERCICIO:
Halle la serie Taylor para , expandidaalrededor de y demuestre que la serie converge a para todo x.
SOLUCIÓN.
En este caso, la serie Taylor es

Primero, calcule algunas derivadas.










Y así sucesivamente, Reconociendoque alternativamente los términos son 0 o 1, se observa que la serie de Taylor es


Se considera el residuo, para probar la convergencia de la serie,

Para algún z entre x y . De loscálculos de las derivadas, observe que

De esto, se sigue que

Para cada n se tiene ahora

Cuando n para todo x, como en el ejercicio. Esto indica que



FORMULA DE TAYLOR CON RESIDUO