Calculo

Cálculo III
Taller (Diferenciación)
Edwin Zarrazola

En los siguientes problemas identifique las expresiones dadas como derivadas parciales de funciones de variasvariables respecto a alguna de sus variables. Obtenga la derivada parcial indicada. (x + h) y − x y 1. lim h→0 h
s
3

4

5

4 5

2. lim

h→0

q

(x +h) y sin z − h
s
3

√ xy sin z

3. lim

h→0

x z+h + + (z + h) cos5 (z + h)4 − z+h y h

x z + + z cos5 z 4 z y

En los siguientes problemas obtenga todaslas derivadas parciales de las funciones indicadas: 4. f (x, y)=(4x2 y 4 − 3x2 + 8x3 )
x y

3

7. f (x, y)=xy + y x + (xy )x (y x )y

x+y x−y √ 2 8. z = cos−1 x+ y 2 5. f (x, y) =

6. f (x, y) = xy + y x 9. f (x, y)=ln 1- (x2 + y 2 )
1/2

1+ (x2 + y 2 )1/2

√ 10. f (x, y, z) = x2 arctan 1 + y + z + ln (1 + y + z) 11.f (x, y, z) = xy+z z x+y x1 x2 xn−1 + + ··· + 12. f (x1 , x2 , . . . , xn ) = 13. f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 x2 · · · xn x2 x3 xn 14. Sea f (x, y) = 3x2 y 4 − 12x6+ 2xy 5 . Verifique que x ∂f ∂f +y = 6f (x, y). ∂x ∂y

Para cada una de las funciones dadas, en las que g, h : R → R son funciones definidas en R, diferenciables,calcule sus derivadas parciales. 1. f (x, y) = g (x) + 2h (y)
ln 1+g 2 (x))] 3. f (x, y) = [ln (1 + x )][ ( g(x)h(z) 5. f (x, y, z) = xyz (1 − z 2 ) 2
h2 (y)

2. f(x, y) =

1 + h (x) 1 + (g (x))2

4. f (x, y, z) = [g (x)]h(y) + [f (y)]g(z)

Calcule las derivadas parciales de cada una de las siguientes funciones, donde g : R→ R es continua. 1. f (x, y) =
Z xy
x

g (t) dt 2.

f (x, y) =

Z y

(x + y ) g (t) dt

2

2

3. f (x, y) =

xy

Z y Rx
1

g (t) dt
g(t)dt