Calculooooo

´
PROBLEMAS DE CALCULO
II
o
1 Ings. Industrial y de Telecomunicaci´on
CURSO 2009–2010

a t e
a’ t i
c a s

1
1.1

C´
alculo diferencial en varias variables.
Funciones de varias variables. L´ımites y continuidad.

Problema 1.1 Indica si los siguientes conjuntos de IR2 son abiertos o cerrados o ninguna de
las dos cosas. Se˜
nala en cada caso el interior y la frontera y da una representaci´on gr´afica:
i) A = { (x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, y < 0 }.
ii) B = { (x, y) : x = 1, 1 < y < 2}.

iii) C = { (x, y) : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 2x }.

iv) D = { (x, y) : 2x + 3y − 5 = 0 }.

v) E = { (x, y) : x2 + 3y 2 ≤ 2 }.

vi) F = { (x, y) : x2 + 3y 2 < 2 }.

vii) G = { (x, y) : x2 − 3y 2 = 2 }.

viii) H = { (x, y) : y > x2 }.

Soluci´
on: i) ninguna de las dos cosas, A◦ = {(x, y) : |x| < 1, y < 0}, ∂A = {(x, y) : |x|=
1´
o y = 0}; ii) ninguna de las dos cosas, B ◦ = ∅, ∂B = {(x, y) : x = 1, 1 ≤ y ≤ 2}; iii) cerrado,
◦
C = {(x, y) ∈ C : x > 1, 0 < y < 2x}, ∂C = {(x, y) : x = 1 o´ y = 0 o´ y = 2x}; iv) cerrado,
D◦ = ∅, ∂D = D; v) cerrado, E ◦ = {(x, y) : x2 + 3y 2 < 2}, ∂E = {(x, y) : x2 + 3y 2 = 2};
vi) abierto, F ◦ = F , ∂F = {(x, y) : x2 + 3y 2 = 2}; vii) cerrado, G◦ = ∅, ∂G = G; vii) abierto,
H ◦ = H, ∂H ={(x, y) : y = x2 }.
Problema 1.2 Estudia si los siguientes conjuntos son abiertos, si son cerrados y si son compactos:
(1)
(3)
(5)
(7)
(9)

A = {(x, y) ∈ IR2 : 5 < x < 7, 0 < y < 1} ,
C = {(x, y) ∈ IR2 : 5 ≤ x ≤ 7, 0 < y < 1} ,
E = {x ∈ IRN : x > 3} ,
G = {x ∈ IRN : x = 5} ,
I = ∅,

(2) B = {(x, y) ∈ IR2 : x > 0} ,
(4) D = {(x, y) ∈ IR2 : 5 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 1} ,
(6) F = {x ∈ IRN : x ≥ 3} ,
(8) H ={x ∈ IRN : x < 3} ,
(10) J = IRN .

Soluci´
on: (1) abierto, (2) abierto, (3) ninguna de las tres cosas, (4) cerrado y compacto, (5)
abierto, (6) cerrado, (7) cerrado y compacto, (8) abierto, (9) abierto, cerrado y compacto, (10)
abierto y cerrado.
Problema 1.3 Halla el interior, la clausura y la frontera de los conjuntos del ejercicio anterior.
Soluci´
on:
◦
(1) A = A, A = D, ∂A = {(x, y) ∈ D : x= 5 o´ x = 7 o´ y = 0 o´ y = 1};
(2) B ◦ = B, B = {(x, y) ∈ IR2 : x ≥ 0}, ∂B = {(x, y) ∈ IR2 : x = 0};
(3) C ◦ = A, C = D, ∂C = ∂A;
1

(4) D◦ = A, D = D, ∂D = ∂A;
(5) E ◦ = E, E = F , ∂E = {x ∈ IRN : x = 3};
(6) F ◦ = E, F = F , ∂F = ∂E;
(7) G◦ = ∅, G = G, ∂G = G;
(8) H ◦ = H, H = {x ∈ IRN : x ≤ 3}, ∂H = {x ∈ IRN : x = 3};
(9) I ◦ = I = ∂I = I = ∅;
(10) J ◦ = J = ∂J = J = IRN .
Problema 1.4
i)Halla f (1, y/x) si f (x, y) =

2xy
.
+ y2

x2

ii) Halla f (x, y) si f (x + y, y/x) = x2 − y 2 .

iii) Halla f (x) y g(x, y) si f (x − y) + g(x, y) = x + y con g(x, 0) = x2 .
√
√
iv) La misma pregunta si f ( x − 1) + g(x, y) = y con g(x, 1) = x.
x2 (1 − y)
; iii) f (x) = x − x2 , g(x, y) = x2 + y 2 − 2xy + 2y;
1
+
y
√
iv) f (x) = −2x − x2 , g(x, y) = x + y − 1.

Soluci´
on: i) f (1, y/x) = f (x,y); ii)

Problema 1.5 Halla el dominio de las siguientes funciones:
i) f (x, y) = x2 − y 2 ,
ii) f (x, y) =
iii) f (x, y) =

x2 − 4y 2 ,

x3 − y 2
,
x−y

iv) f (x, y) = (x2 + y 2 − 1)1/2 ,
v) f (x, y) = 1/xy,

vi) f (x, y) = arcsen(x + y),
vii) f (x, y) = ex/y ,
viii) f (x, y) = log(xy),
1
ix) f (x, y) =
,
cos(x − y)
x) f (x, y) = cos
xi) f (x, y, z) =

1
x−y

1+

,
9 − y2

4 − (x2 + z 2 )

.log(1 + x) + log(1 + y)
.
log(1 − x) + log(1 − y)
(1 + x)(1 + y)
.
xiii) f (x, y) = log
(1 − x)(1 − y)

xii) f (x, y) =

Soluci´
on: i) IR2 ; ii) {(x, y) ∈ IR2 : x2 − 4y 2 ≥ 0}; iii) {(x, y) ∈ IR2 : x = y}; iv) {(x, y) ∈
2
IR : x2 + y 2 ≥ 1}; v) {(x, y) ∈ IR2 : xy = 0}; vi) {(x, y) ∈ IR2 : −1 ≤ x + y ≤ 1};
vii) {(x, y) ∈ IR2 : y = 0}; viii) {(x, y) ∈ IR2 : cos(x − y) = 0} = {(x, y) ∈ IR2 : x −
2

y =π/2 + kπ con k ∈ ZZ}; ix) {(x, y) ∈ IR2 : xy ≥ 0}; x) {(x, y) ∈ IR2 : x − y = 0};
xi) {(x, y, z) ∈ IR3 : y 2 ≥ 9, x2 + z 2 ≤ 4}; xii) {(x, y) ∈ IR2 : |x|, |y| < 1, xy = x + y};
xiii) {(x, y) ∈ IR2 : |x|, |y| < 1} ∪ {(x, y) ∈ IR2 : |x|, |y| > 1}.
Problema 1.6 Halla la imagen de las cinco primeras funciones del problema anterior.
Soluci´
on: i) IR; ii) [0, ∞); iii) IR; iv) [0, ∞); v) IR \ {0}....