cantor

CONJUNTO DE CANTOR
CONSTRUCCION GEOMETRICA DEL CONJUNTO DE CANTOR.
Para construir geometricamente el donjunto de Cantor, lo primero que
hacemos es tomar el intervalo I = [0, 1]; dividirlo en trespartes de las
cuales para hallar el primer subconjunto A1 le quitamos el tercio central,
esto es:
A1 = I −

12
,
33

2
1
∪ ,1
3
3

A1 = 0 ,

De esta manera resulta que A1 es la unionde dos subintervalos, a estos
subintervalos los dividimos cada uno tres partes de las cuales para hallar
A2 le quitamos su tercio central correspondiente, esto es:
12
,
99

A2 = A1 −
A2 = 0,−

78
,
99

1
21
27
8
∪,
∪,
∪ ,1
9
93
39
9

Continuando con este procedimiento hallamos A3 , A4 , ...; de esta manera
el conjunto de cantor se define as´
ı:
∞

C=

Ai
i=1En la figura 1, podemos ver como se va formando el conjunto de Cantor
a partir de el intervalo [0,1].

1

Figura 1: Conjunto de Cantor

´
DEFINICION 1: El conjunto de Cantor F

es laintersecci´n de los
o
conjuntos Ai con i ∈ N , obtenidos por la eliminaci´n sucesiva de las tero
ceras partes abiertas de en medio, empezando con [0, 1].

PROPIEDADES
Teorema 1.
La longitud total delos intervalos eliminados es 1.
Demostraci´n. Cuando empezamos la eliminaci´n de las terceras paro
o
tes, observamos que la primera tercera parte tiene una longitud de
1/3 , las dos terceraspartes de en medio siguientes tienen longitudes
que suman 2/32 , las cuatro terceras partes de en medio siguientes
tiene longitudes que suman 22 /33 , y as´ sucesivamente . De donde la
ı
longitud totalL de los intervalos eliminados esta dada por:
∞

L=

1
2
22
2n
1
+ 2 + 3 +· · · + n+1 =
33
3
3
3 n=0

2
3

n

Ya que la seria resultante es una serie geom´trica, tenemos que:
eL=

1
1
·
=1
3 1 − 2/3

Observaci´n. Asimismo que la longitud total de los intervalos que
o
constituyen An es (2/3)n , cuyo limite es 0 cuando n → ∞, Puesto
que C ⊆ An para toda n ∈ N ,...