Cap 2 Tensores

Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo II. Introducción al análisis tensorial

Tensores
2.1 Introducción al análisis tensorial
Es aquella cantidad física que después de una transformación de coordenadas (que
obedezca ciertas reglas), se comporta de tal manera que las leyes que lo relacionan con
otra cantidad similar, se conservan.


Sea A un vector con 3 componentes, es decir
x3
A3

eˆ3A2

eˆ2

x2

eˆ1
A1
x1
Figura 1. Componentes de un vector.


A  ( A1 , A2 , A3 )  A1eˆ1  A2 eˆ2  A3 eˆ3


A  Ai

i  1,2,3 índice libre.

notación normal cartesiana
notación indicial

por ejemplo los cosenos directores se pueden escribir en la forma:
cos( i )

i  1,2,3

A
es decir, cos 1 , cos  2 y cos  3 se denotará solamente por: cos  i  li  i
A

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donde el módulo del vector es:


A

i índice repetido 

Ai  Ai

suma

A
li  i 
A

Ai
Aj  Aj

NOTA:
Cada vez que haya un índice repetido significa que se debe asignar los
valores 1, 2 y 3 y luego sumar. No se debe repetir el mismo índice más de 2 veces. Por
lo tanto los cosenos directoresse pueden escribir como:

cos  i 

Ai
Aj Aj

Producto Escalar

 
A  B  A1 B1  A2 B2  A3 B3
 
A  B  Ai Bi

i  1,2,3 notación indicial

Producto Vectorial

  
C  A  B  ( A2 B3  A3 B2 )eˆ1  ( A3 B1  A1 B3 )eˆ2  ( A1 B2  A2 B1 )eˆ3
que se obtiene de

 eˆ1
A  B  det  A1
 B1
en notación indicial el
 
A  B   ijk Ai B j eˆk , donde:

producto

 ijk

2-2

eˆ2
A2
B2vectorial

eˆ3 
A3 
B3 
tiene

la

siguiente

expresión

 1 Rotación es cíclica

   1 Rotación es anticíclic a

0 Índices repetidos


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ejemplo:

 123  1
 321  1
 122  0
 231  1
Consideremos el término

 ij1 Ai B j eˆ1
Como  ij1  0 si hay 2índices repetidos, sólo se tienen valores no nulos si los índices i, j
toman los valores 2 y 3.
Por lo tanto  ij1 Ai B j eˆ1   231A2 B3 eˆ1   321A3 B2 eˆ1 , pero

 231  1 y  321  1 , por lo

tanto:

 ij1 Ai B j eˆ1  ( A2 B3  A3 B2 )eˆ1 .
Análogamente se obtiene:

 ij 2 Ai B j eˆ2  ( A3 B1  A1 B3 )eˆ2
 ij 3 Ai B j eˆ3  ( A2 B1  A1 B2 )eˆ3

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2.2 Transformación de coordenadas

x3
y2

y3
iˆ3

eˆ3

eˆ2

iˆ1

x2

iˆ2
eˆ1

x1

y1

Figura 2. Transformación de coordenadas.

eˆ1  a11iˆ1  a12iˆ2  a13iˆ3

iˆ1  b11eˆ1  b12eˆ2  b13eˆ3

eˆ2  a21iˆ1  a22iˆ2  a23iˆ3

iˆ2  b21eˆ1  b22eˆ2  b23eˆ3

eˆ3  a31iˆ1  a32iˆ2  a33iˆ3

iˆ3  b31eˆ1 b32eˆ2  b33eˆ3

eˆi  aij iˆj

, iˆk  bki eˆi

reemplazando iˆk  bki aij iˆj

1 si k  j
 bki aij   kj  
0 si k  j

 kj es el delta de Kronecker.
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Las matrices que representan a los coeficientes aij

y bki son inversas. Lo anterior

define una regla decambio de índices a través de la matriz  kj ya que iˆk   kj iˆj
2.3 Propiedades de los Tensores
1. Cuando en una expresión aparezca un índice repetido se entenderá que corresponde
a una suma en todo el rango del índice.
Ejemplo

B   i eˆi

i  1,2,3


B  1eˆ1   2 eˆ2   3 eˆ3

2. Los índices repetidos de un miembro se llaman índices mudos y no deben repetirse
más de una vez.
Ejemplo
ek  ijk Aij

i y j son índices mudos

3. Un índice que no se repite, toma en forma separada los valores de su rango
Ejemplo  l  ali xi

l  1,2,3

Es equivalente a 1  a1i xi

,  2  a2i xi

,  3  a3i xi

4. El número de índices libres en miembro izquierdo y derecho deben ser los mismos
en una identidad tensorial.
Ejemplo

bjk  a jkl eˆl

j y k son índices libres

5. Un tensor es...