Cap04

GUIA 4

Algunas aplicaciones de la ecuaciones
diferenciales de primer orden
1.

Procesos de crecimiento y declinaci´
on.
Primero estudiaremos el modelo

dx
= a x,
dt
con a constante. La cantidad x puede ser
El tama˜
no de una poblaci´on que var´ıa seg´
un una ley de Malthus
dx
= a x.
dt
La cantidad de una sustancia radioactiva, como uranio, que se desintegra espont´aneamente seg´
un la ley
dx
=a x,
(a < 0).
dt
La cantidad de dinero en una cuenta sobre la cual se paga inter´es compuesto continuo
a una tasa anual de inter´es a (En este caso el tiempo t se mide en a˜
nos).
Ejercicios
1. La poblaci´on de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 mill´on en 1,985
(t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la poblaci´on existente en
ese instante, ¿ en qu´ea˜
no la poblaci´on de Cali exceder´a los 5 millones de habitantes?
Respuesta: En el a˜
no 2020.
2. Una poblaci´on duplica su tama˜
no en 10 a˜
nos y la triplica en 20. ¿ Puede seguir una
ley de Malthus de crecimiento? Justifique su respuesta.
3. Seg´
un una teor´ıa cosmol´ogica, en el instante inicial del Universo hab´ıa igual cantidad
de ´atomos de uranio 235 (U 235 ) y de uranio 238 (U 238 ). Seestima que en la actualidad
la relaci´on de U 238 y U 235 en una muestra es de 6197 a 45. La vida media de una
sustancia radioactiva es el tiempo necesario para que una cantidad de la sustancia se
reduzca a la mitad. Si la vida media del U 238 se estima en 4,51 mil millones de a˜
nos y
235
la del U
en 0,707 mil millones de a˜
nos, estime la edad del Universo. Respuesta: La
edad el universo es5,96 mil millones de a˜
nos.

1

4. Sup´ongase que una isla es colonizada por inmigraci´on desde el continente. Sup´ongase
que hay un n´
umero constante S de especies en el continente mientras que en la isla
existen N (t) especies en el tiempo t . La rapidez con la cual nuevas especies inmigran
a la isla y la colonizan es proporcional al n´
umero S − N (t) de especies del continente
que no se hanestablecido en la isla, con constante de proporcionalidad h. Adem´as, en
la isla las especies se extinguen con una rapidez proporcional al n´
umero de especies de
la isla, con constante de proporcionalidad k. Escriba la ley de variaci´on de N . Calcule
l´ımt→∞ N (t).

2.

El modelo de Verhulst

Tal como se discuti´o en la Gu´ıa 1, la variable fundamental en la descripci´on del tama˜
no
1 dx
x =x(t) de una poblaci´on en el tiempo t es la tasa relativa de crecimiento x(t) dt (t). El
modelo m´as sencillo es el modelo de Malthus que supone una tasa de crecimiento constante.
En esta secci´on consideraremos un modelo postulado por el matem´atico Belga Pierre Fran¸cois
Verhulst (1804–1849), que supone una tasa de creciemiento que disminuye con el aumento
de la poblaci´on de acuerdo con laregla
1 dx
(t) = a − b x(t),
x(t) dt

a, b constantes positivas,

que conduce a la ecuaci´on diferencial
dx
= x (a − b x),
(1)
dt
la cual puede verse como una correcci´on del modelo de Malthus tratado en la Gu´ıa 1 en
el siguiente sentido. Para valores peque˜
nos de x(t), b x2 (t) es despreciable comparado con
∼ a x(t); para x(t) grande, b x2 (t) no es despreciable y la disminuci´on
a x(t), as´ı quedx
dt =
−b x2 (t) en la tasa de crecimiento debe considerarse.
Si bien podemos resolver (1) mediante separaci´on de variables, el punto es que podemos
obtener informaci´on importante de las soluciones x = x(t) de (1) sin conocerlas expl´ıcitamente.
Primero que todo observamos que la funci´on f (t, x) = x (a − b x), definida para todo
t ∈ R y todo x ∈ R, satisface las hip´otesis C1 y C2 del TeoremaFundamental (ver Gu´ıa 1),
por lo que para cada t0 ∈ R y x0 ∈ R existen un intervalo abierto I ⊂ R que contiene a t0 ,
y una funci´on x = x(t) definida en I, tales que x = x(t) es la u
´nica soluci´on de (1) definida
en I que satisface la condici´on inicial x(t0 ) = x0 .
Ahora notamos que las funciones constantes xE (t) = ab y xI (t) = 0 son soluciones de (1).
Estas soluciones tienen una...