Cap2s4

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Producto y Suma

Operaciones con Transf. Lineales

CAPÍTULO 2 TRANSFORMACIONES LINEALES
Lección 4.Transformaciones Lineales Biyectivas

En el Capítulo 1 se presentó el concepto de isomorfismo para grupos y anillos; en esta lección se
mostrará la importancia de esta noción para el caso de losespacios vectoriales.
Una transformación lineal T : V→W es inyectiva si para cualesquiera elementos u, v ∈ V se
cumple que:
T (u) = T (v )

⇔

u = v.

T se dice sobreyectiva si Im( T ) = W.
Proposición 1.Si T : V→W es una transformación lineal, entonces las siguientes
condiciones son equivalentes:
1. T es inyectiva.
2. N( T ) = 0.
3. Si v 1 , … , v n son vectores L I de V, entonces T ( v 1 ), … , T (v n ) son vectores LI de
Im( T ).
4. Si X es una base de V, entonces T( X ) es una base de Im( T ).
En particular, si V y W son espacios de dimensión finita n ≥ 1, entonces T es inyectiva si y s
ólosi T es sobreyectiva.
Demostración
Se dice que T es biyectiva si T es inyectiva y sobreyectiva. Dos K-espacios V y W se dicen
isomorfos si existe una transformación lineal biyectiva T de V en W. Estarelación entre V y
W se denota por V ≅ W.
Siendo T biyectiva, existe la función inversa de T definida por
T
−1
T (w ) = v
donde w ∈ W y v ∈ V. Es obvio que T
las siguientes condiciones:
T T

−1

=IW

−1

: W→V
⇔
T( v ) = w

−1

es también una tranformación lineal y cumple

,

T

−1

T = IV

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Nóteseque T −1 es la única transformación de W en V que cumple estas identidades, y se le
conoce como la transformación inversa de T. Se ha visto que una transformación lineal
biyectiva tiene inversa, éstaes única y viene caracterizada por las identidades anteriores.
Nótese que la relación "ser isomorfo" es una relación de equivalencia en la colección de
todos los K-espacios. Es también claro que la...