Capas de permeabilidad

Calculo de Varias Variables I


Ejercicio # 1
Resumen:
Supongamos que tenemos una función , donde f tiene derivadas parciales continuas y sea el punto un punto en la superficie S. Seany las curvas obtenidas al intersectar los plano y con la superficie S. Sea y las rectas tangentes a la curvas y en el punto P.Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto P estadefinido como el plano que contiene a las rectas y .

Sabemos que cualquier plano que pase por el punto y que tenga vector normal tiene la ecuación,

dividiendo esta ecuación por C yhaciendo y , podemos reescribir la ecuación como

si esta ecuación representa al plano tangente en el punto P, entonces su intersección con el plano es la recta tangente . Haciendo en estaecuación obtenemos
el segundo termino se hace cero por que como
Al despejar para obtenemos lo cual podemos identificar como la ecuación de una linea de pendiente a. Pero por lo que sabemosde la interpretación geométrica de las derivadas parciales, la pendiente de la recta tangente es igual a por lo tanto
Haciendo algo muy similar a lo anterior podemos llegar a la conclusiónde que .
Entonces obtenemos que la ecuación del plano tangente al punto P de la superficie S es,



Ejemplos:
Ejemplo # 1


Siendo en el punto













Ejemplo# 2
Encuentre la ecuacion de la linea en el punto (1,-1,1) y paralela a la recta


, , .

, , .
El vector direccion es , tomamos los valores que acompañan el valor .
Tomamos laecuacion vectorial de la recta








Ejemplo # 3
Calcule una ecuación del plano tangente a la superficie dada, en el punto especificado.
,

Sacamos la derivada parcial respecto de"x" y valuamos en el punto :

Sacamos la derivada parcial respecto de "y" y valuamos en el punto :

Sustituimos en la ecuación del plano:




Ecuación del Plano: