capitulo en dos y tres dimensiones

Capítulo 3
Cinemática en dos y tres dimensiones
En este cap´ıtulo extenderemos la descripci´on del movimiento de una part´ıcula a dos y tres dimensiones. Esto nos lleva a introducir el concepto de vector, cuya definición y propiedades ilustraremos con los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración.
3.1. Vectores
Consideremos el movimiento de una partícula en un plano. La posición de lapartícula podría ser claramente especificada si se introduce un sistema de ejes perpendiculares que se intersectan en un punto, que llamaremos el “origen” Por ejemplo, el punto P en la figura 3.1 se encuentra a 3 m a la derecha del origen, medidos a lo largo de la direcci´on del eje x, a 2 m sobre el origen, medidos a lo largo del eje y. En general, la posici´on de un punto cualquiera quedadeterminada dando un par ordenado (x, y) de n´umeros, en el sentido que siempre el primer n´umero corresponder´a a la proyecci´on sobre el eje xˆ y el segundo n´umero a aqu´ella sobre el eje ˆy.
Figura 3.1
El trazo que une el origen O con el punto P, en el sentido que indica la punta de flecha en la figura 3.1, se denomina el vector de posici´on ~rp del punto P. La magnitud de este vector es igual a lalongitud del trazo OP y se denota por |~rp| o simplemente como rp (sin flecha). Rigurosamente, un vector es un objeto que, m´as all´a de poseer las caracter´ısticas descritas, est´a definido por la existencia de una operaci´on de suma entre vectores y la multiplicaci´on de un vector por un n´umero (escalar), operaciones que satisfacen reglas muy precisas.
Introduzcamos estas ideas a trav´es deejemplos.
Supongamos que la part´ıcula en un instante t se encuentra en P y en un instante posterior t 0 > t se encuentra en el punto Q (ver figura 3.1). El vector que une el origen O con Q es el nuevo vector de posici´on de la part´ıcula. Al vector conformado por el trazo P Q y cuyo sentido va desde P hacia Q, se llama vector desplazamiento, ∆~r (ver figura 3.1).
Suma de Vectores
Sean A~ y B~ dosvectores. Traslademos paralelamente a s´ı mismo al vector B~ hasta que su extremo romo se superponga con el extremo aguzado (punta de flecha) del vector A~ . El vector suma A~ + B~ ≡ C~ se define como el trazo que comienza en el extremo romo de A~ y termina en el extremo aguzado de B~ . Esta definici´on se conoce con el nombre de regla del paralel´ogramo.
Figura 3.2
Ejemplo: Un excursionista partedesde una cierta posici´on y camina 4 km hacia el Este y luego 3 km hacia el Sur. ¿Cu´al es el vector desplazamiento resultante C~? El vector C~ es la suma vectorial de los desplazamientos parciales realizados por el excursionista, hacia el este A~ y luego hacia el sur B~ . Gr´aficamente la situaci´on est´a ilustrada en la figura 3.3. La magnitud del desplazamiento resultante se calcula utilizando elteorema de Pit´agoras
C =pA2 + B2 =√9 + 16 = 5 km .
Figura 3.3
La direcci´on de C~ queda definida por el ´angulo φ que forma el vector C~con la direcci´on Oeste–Este. Consideraremos un ´angulo positivo cuando se mide en sentido contrario a los punteros del reloj, luego
tan φ = −34= 0,75 , es decir, φ = − 36,9◦.
Que el ´angulo φ sea negativo significa que est´a medido en el mismo sentido de lospunteros del reloj.
Propiedades de la suma de vectores.3.1 Vectores 59i) Conmutatividad: A~ + B~ = B~ + A.
~ii) Asociatividad: A~ + (B~ + C~) = (A~ + B~) + C .~
iii) Existe un vector nulo tal que A~ +~0 = A .~ iv) Para cada vector A~ existe un vector opuesto, que denotaremos por −A~ , tal que A~ +(−A~) = ~0 .
Multiplicaci´on de un vector por un escalar real.
La multiplicaci´on de un vector A~por un n´umero real α (escalar real) se define como un nuevo vector B~ de magnitud α|A~|, cuyo sentido coincide con el de A~ si α > 0 y es opuesto al de ´este si α < 0.
Propiedades de la multiplicaci´on por un escalar real.
Sean α y β dos números reales y A~ y B~ dos vectores, entonces:
i) α(A~ + B~) = αA~ + αB~
.
ii) (α + β)A~ = αA~ + βA~
.
iii) (αβ)A~ = α(βA~).
iv) Para todo vector A~...