Carga y decarga de capacitor

ANEXOS




1. Carga de un capacitor

Para cargar un capacitor es necesario comprobar que la fuente de energía eléctrica que se encuentra en el circuito tenga fem constante y resistencia interna nula (r = 0), y no se tiene en cuenta la resistencia de todos los conductores de conexión. Cabe anotar que inicialmente el capacitor esta descargado, después en un tiempo inicial (t = 0) se cierrael interruptor para completar el circuito y permitir que la corriente alrededor de la malla comience a cargar el capacitor. Para toda consideración practica, la corriente comienza en el mismo instante en todas las partes conductoras del circuito, y en cada instante la corriente es la misma en todas partes.
Como inicialmente el capacitor esta descargado, la diferencia de potencial entre losextremos de este (supongamos es Vab) es cero (t = 0). En este momento de acuerdo a la regla mallas de Kirchhoff, el voltaje entre los extremos del resistor R (supongamos es Vbc) es igual a la fem de la fuente de energía eléctrica. La corriente inicial (I0) a través del resistor esta dada por la ley de Ohm .
A medida que el capacitor se carga, su voltaje Vab aumenta y la diferencia de potencial Vbcentre los extremos de resistor disminuye, lo que corresponde a una reducción de la corriente. La suma de estos dos voltajes es constante e igual a la fem . Al cabo de un tiempo el capacitor se carga totalmente, la corriente disminuye a cero y la diferencia de potencial Vbc entre los extremos del resistor se hace cero. En ese momento aparece la totalidad de la fem de la fuente de energía eléctricaentre los bornes del capacitor, y la diferencia de potencial entre los extremos del capacitor es igual al valor de la fem.
Si se establece a q como la carga del capacitor e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo t luego de cerrar el interruptor. Las diferencias de potencial instantáneas Vab y Vbc son Vab= q/C Vbc = iR.
Utilizando estas en la regla de mallas deKirchhoff, se obtiene - q/C- iR = 0 (ecuación 1). El potencial cae una cantidad q/C al pasar de a a b e iR al pasar de b a c. Resolviendo para i de la ecuación 1 se tiene i = (/R)-(q/RC) (ecuación 2).
Como se había mencionado anteriormente en el tiempo t = 0, cuando se cierra inicialmente el interruptor, el capacitor esta descargado, y por tanto, q = 0. Sustituyendo q = 0 en la ecuación 2 resulta lacorriente inicial I0 = /R. Si el capacitor no estuviera en el circuito, el ultimo término de la ecuación 2 estaría ausente, entonces la corriente seria constante e igual a /R. Conforme la carga q aumenta, el termino q/RC crece y la carga del capacitor tiene a su valor final, al que llamaremos Qf. La corriente disminuye y termina por desaparecer. Cuando i = 0, la ecuación 2 se convierte en losiguiente /R = Qf /RC, es decir, Qf = C (ecuación 3). En esta ecuación claramente se nota que Qf no depende de R.

Figura 1 (i vs. t) Figura 2 (q vs. t)

Para la figura 1 y 2 se muestra la corriente y la carga del capacitor respectivamente en función del tiempo. En el instante en el que se cierra el interruptor (t = 0), la corrientesalta de cero a su valor inicial ; a partir de ese punto, se aproxima gradualmente a cero.
La carga del capacitor comienza en cero y poco a poco se aproxima al valor final Qf = C.
Se pueden deducir expresiones generales de la carga q y la corriente i es función del tiempo. Por tanto, . Haciendo esto en la ecuación 2 se obtiene


Esto se puede reordenar a

Para luego integrar en amboslados. Se cambian las variables de integración a q’ y t’ para poder fijar q y t como limites superiores. Los limites inferiores son q’=0 y t’=0:

Después de integrar se obtiene

Exponenciando ambos lados (es decir, tomando el logaritmo inverso) y resolviendo para q se encuentra que

Para luego obtener la definición matemática del circuito RC para un capacitor en carga

La corriente...