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Pedro Castro Ortega
Profesor del IES “Fernando de Mena”

Tema 3: Programación lineal

Tema 3: Programación lineal
1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Consideramos conveniente revisar los conceptos relacionados con las inecuaciones
lineales, ya que su uso va a ser continuado en este tema.
Ya sabemos que las expresiones de la forma ax + by = c se denominan ecuaciones
lineales condos incógnitas y su representación gráfica es una recta (ver apuntes del
curso pasado).
Si en las ecuaciones lineales con dos incógnitas cambiamos el signo igual por uno de los
cuatro signos de desigualdad (, ≥), obtenemos una inecuación lineal con dos
incógnitas.
Una inecuación lineal con dos incógnitas, es toda inecuación equivalente a una de las
siguientes:
ax + by + c > 0,

ax + by+ c ≥ 0,

ax + by + c < 0,

ax + by + c ≤ 0

es decir, cuando, después de reducirla, tiene dos incógnitas de grado uno.
Es conocido que los valores que satisfacen la ecuación ax + by = c son los puntos
situados sobre una recta. Esta recta divide al plano en dos semiplanos. Estos semiplanos
van a constituir las soluciones de las inecuaciones asociadas a ax + by = c.
El conjunto desoluciones de una inecuación, es decir, el semiplano de soluciones de
la inecuación, se determina de la forma siguiente:
•

Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones
o semiplanos.

•

Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir
un punto que no pertenezca a la recta, y comprobar si las coordenadassatisfacen o
no a la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos
puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra.

Ejercicio de aplicación

1

Encuentra
y representa
gráficamente el conjunto de
soluciones de la inecuación
siguiente: x + y < 2.

Solución:

semiplano

En la figura 1 puede verse como
x+y 0

a)  y > 0
;x + 2 y < 8


x > 0

b)  y > 0
;
2 x + 3 y > 6


x > 0

c)  y > 0
 x + y < −1


Solución:
En cada uno de los casos representamos las rectas asociadas a cada inecuación.
Buscamos para cada una de las inecuaciones su semiplano de soluciones y, por último,
la región común a todos los semiplanos. En las representaciones gráficas que siguen
puede verse la región factible oregión de soluciones de cada uno de los sistemas.
a) Solución acotada en polígono convexo (Figura 2)
b) Solución no acotada (Figura 3)
c) No posee solución (Figura 4)

2x+3y = 6
x + 2y = 8

Figura 2

x + 2y = 8

Figura 3

28

x + y = −1

Figura 4

Pedro Castro Ortega
Profesor del IES “Fernando de Mena”

Tema 3: Programación lineal

2. Programación lineal. DefinicionesA finales de la década de los años cuarenta se desarrolló la técnica algebraica
denominada programación lineal para resolver problemas de asignación de recursos
entre distintas actividades de ámbito económico. Las aplicaciones a otros tipos de
problemas han sido numerosas.
Veamos la formulación algebraica del problema o modelo de programación lineal,
llamado también programa lineal.
Sellama programa lineal a la formulación algebraica que pretende resolver la situación
siguiente:
Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias
variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por ecuaciones e inecuaciones
lineales.

Ø Programación lineal para dos variables. Métodos de solución
Todas las situaciones que se estudian en este temapresentan dos variables, en el caso en
el que los programas lineales tengan dos variables, que llamamos x e y, la formulación
algebraica de los problemas de máximos y mínimos es como sigue:
Maximizar f ( x, y ) = ax + by sujeto a:

Minimizar f ( x, y ) = ax + by sujeto a:

a11 x + a12 y ≤ b1

a11 x + a12 y ≥ b1

a21 x + a22 y ≤ b2

a21 x + a22 y ≥ b2

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