Centroides

Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional

Al sumar las fuerzas en la dirección z vertical y los momentos alrededor de los ejes horizontales y y x, Aumentando el número de elementos en que está dividida la placa y disminuyendo el tamaño de cada una obtendremos

Estas definen el peso del cuerpo y las coordenadas x y y de su centro de gravedad.

El centro de gravedad de un cuerpo rígidoes el punto G en donde puede aplicarse una sola fuerza W, llamada peso del cuerpo, para representar el efecto de la atracción de la Tierra sobre ese cuerpo. Es el punto del espacio en el que se considera que está aplicado el peso.

El peso de un cuerpo no actúa en un solo punto sino que está distribuido sobre su volumen total, sin embargo el peso se puede representar con una sola fuerzaequivalente actuando en u punto llamado centro de masa. Por ejemplo cada parte de un automóvil tiene un peso propio, pero se puede representar su peso total con una sola fuerza que actúa en su centro de masa. Este coincide con el centro de gravedad. Siempre y cuando actué la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo.

Centroides de superficies y líneas

Estas integrales se conocen como los primerosmomentos del área A con respecto a los ejes y y x, y se denotan por Qy y Qx ,

Momentos de primer orden de superficies y líneas

Placas y alambres compuestos

z

y

z

W3 y W1 W2 G3

W X O
Y

G
O

G2 G1

x

x Existen tablas de las áreas y los centradas de diversas formas comunes. Cuando una placa plana se puede dividir en varias de estas formas, se pueden determinar lascoordenadas X y Y de su centro de gravedad G a partir de las coordenadas x1, x2 . . . y y1, y2 . . . de los centros de gravedad de las diversas partes, usando

X W = xW Y W = yW

z

y G

O

x

Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, su centro de gravedad coincide con el centroide C del área de la misma y los primeros momentos del área compuesta son

Qy = X A =

xA

Qx = Y A=

yA

Cuando el área está limitada por curvas analíticas, se pueden determinar por integración las coordenadas de su centroide. Esto se puede hacer al evaluar integrales dobles o una sola integral en la cual se use un elemento de área, rectangular delgado o con forma de pastel. Denotando por xel y yel las coordenadas del centroide del elemento dA, se tiene

Qy = xA = xel dA

Qx = yA =yel dA

Tabla de centroides de figuras simples

L

C

y x

2 y

Los teoremas de Pappo-Guldino relacionan la determinación del área de una superficie de revolución o del volumen de un cuerpo de revolución con la determinación del centroide de la curva o área generadoras. El área A de la superficie generada al hacer girar una curva de longitud L alrededor de un eje fijo es

A = 2 yLen donde y representa la distancia del centroide C de la curva al eje fijo.

C A
y x 2 y

El volumen V del cuerpo generado al hacer girar un área A alrededor de un eje fijo es

V = 2 yA
en donde y representa la distancia del centroide C del área al eje fijo.

dW
w O x

w

x

W

w
dx B x

C O
P L

W=A

B

x

L

También se puede usar el concepto de centroide de unárea para resolver problemas diferentes a los de tratar con el peso de placas planas. Por ejemplo, para determinar las reacciones en los apoyos de una viga, se reemplaza una carga distribuida w por una carga concentrada W con magnitud igual al área A debajo de la curva de carga y que pase a través del centroide C de esa área. Se puede usar el mismo enfoque para determinar la resultante de lasfuerzas hidrostáticas ejercidas sobre una placa rectangular sumergida en un líquido.

Las coordenadas del centro de gravedad G de un cuerpo tridimensional se determinan a partir de

xW = x dW

yW =

y dW

zW =

z dW

Para un cuerpo homogéneo, el centro de gravedad G coincide con el centroide C del volumen V del mismo; las coordenadas de C se definen por las relaciones

xV = x dV...