certamen1-2010-complemento_de_calculo

PAUTA EVALUACION I: Complementos de C´lculo
a
1. Evaluar el valor de
(a) ei(1−2i)
Soluci´n: Observamos que ei(1−2i) = e2+i = e2 ei , luego gracias a la f´rmula de
o
o
i(1−2i) = e2 cos(1) +ie2 sin(1).
Euler: e
(b) Im{b} donde b = zz 2 .
Soluci´n: Observamos que b = zz 2 = |z|2 z, luego
o

Im{b} = y(x2 + y 2 ).

(c) Re{cn } donde cn es el coeficiente de la Serie de FourierCompleja de una funci´n real,
o
f.
c +c
Soluci´n: Sabemos que cn = c−n , luego Re{cn } = n 2 −n , luego gracias a la f´rmula
o
o
2π
2π
1
1
de Euler Re{cn } = 4π 0 f (t) cos(nt)dt = 2π 0 f (t)cos(nt)dt.
(d) Res (z cos(1/2z), 0)
Soluci´n: Sabemos que cos(z) =
o

∞
n z 2n
n=0 (−1) (2n)! cualesquiera sea z en
−3
2−2n
secuencia, si z = 0 se tiene z cos(1/2z) = z − 2 z + ∞ (−1)n (2n)!z2n−1
n=2
que Res (z cos(1/2z), 0) = − 1
8

C. En cony se infiere

sin(z)
dz
(z 2 + 2z)2
|z|=1
Soluci´n: Sabemos que z = 0 es una singularidad removible de sin(z)/z y por tanto
o
z = 0 es unpolo simple del integrando, y en consecuencia I = 2πiRes z 2sin(z) 2 , 0 =
(z+2)

(e) I =

2πi l´ z→0
ım

sin(z)
z(z+2)2

= iπ.
2
Puntaje [5(0,3)=1.5 puntos.]

2. (a) Establecer que lafunci´n z[cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y)] es una funci´n entera y
o
o
encontrar su primera derivada.
Soluci´n: Sabemos que el t´rmino entre par´ntesis [· · · ] es exactamente cos(z),
o
e
e
yen consecuencia la funci´n propuesta es f (z) = z cos(z), y es entera, pues, es el
o
producto de dos funciones enteras. Adem´s f (z) = cos(z) − z sin(z).
a
1
(b) Encontrar la Serie de Laurent def (z) = (z+1)(z+2) en potencias de (z − 1) en un
regi´n anular que contenga el punto z = 7/2
o
7
Soluci´n: Observamos que 2 − 1 = 5 > 2 y en consecuencia se debe considerar el
o
2
desarrollo enel anillo 2 = dist{1, −1} < |z − 1| < dist{1, −2} = 3. Enseguida la
1/3
1
1
1
descomposici´n f (z) = z+1 − z+2 , se debe escribir como f (z) = z−1 1+1 2 − 1+ z−1
o
z−1

y por tanto:
f...