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Matem´ticas
a
Avanzadas
para
Ingenier´
ıa:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matem´ticas
a
Serie de
Fourier
Sk

Matem´ticas Avanzadas para Ingenier´a:
a
ı
Series de Fourier

Convergencia
TI:ao

Departamento de Matem´ticas
a

TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
TI:cn para f

MA3002

Matem´ticas
a
Avanzadas
para
Ingenier´ıa:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matem´ticas
a

Serie de Fourier
La serie de Fourier de una funci´n peri´dica f (x) de per´
o
o
ıodo T
definida en un intervalo de longitud T est´ dada por:
a
f (x) =

Serie de
Fourier

a0
+
2

Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn

donde
ω0 =
a0 =

TI:f
TI:Uso
Hechos 1

an =

∞

(an cos (n ω0 x) + bn sen (n ω0 x))
n=1

2πT

1
T /2

T

1
T /2

T

1
T /2

T

f (x) dx
f (x) cos (n ω0 x) dx

Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
TI:cn para f

bn =

f (x) sen (n ω0 x) dx

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para
Ingenier´
ıa:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matem´ticas
a
Serie de
Fourier
Sk

Sumas parciales
Para la serie de Fourier de una funci´n f (x) peri´dica definida
o
o
en unintervalo de longitud T la k-´sima suma parcial,
e
representada por Sk (x) est´ dada por:
a

Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
TI:cn para f

Sk (x) =

a0
+
2

k

(an cos (n ω0 x) + bn sen (n ω0 x))
n=1

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Series de
Fourier
Departamento
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Matem´ticas
a
Serie deFourier

Ejemplo 1
Expanda en una Serie de Fourier la funci´n:
o
f (x) =

Sk

0
π−x

para −π < x
para
0 ≤ x

< 0
< π

π

Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso

−π

Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
TI:cn para f

Aqu´ ω0 =
ı

2π
2π

= 1.

O

π

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Series de
Fourier
Departamento
deMatem´ticas
a
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
TI:cn para f

a0 =

1
π

π

f (x) dx =
−π

1
π

0

π

(π − x) dx

0 dx +
−π

0

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Series de
Fourier
Departamento
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Matem´ticas
a
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:fTI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
TI:cn para f

a0 =
=

1 π
1
f (x) dx =
π −π
π
π
1
x2
πx −
π
2 0

0

π

(π − x) dx

0 dx +
−π

0

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Ingenier´
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Series de
Fourier
Departamento
de
Matem´ticas
a
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
ComplejasTI:cn
TI:cn para f

a0 =
=
a0 =

1 π
1
f (x) dx =
π −π
π
π
1
x2
πx −
π
2 0
π
2

0

π

(π − x) dx

0 dx +
−π

0

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Series de
Fourier
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Serie de
Fourier
Sk

a0 =
=
a0 =

Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
TI:cn para fan =

1 π
1
f (x) dx =
π −π
π
π
1
x2
πx −
π
2 0
π
2
1
π

π

f (x) cos(n x) dx
−π

0

π

(π − x) dx

0 dx +
−π

0

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Series de
Fourier
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Matem´ticas
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Serie de
Fourier
Sk

a0 =
=
a0 =

Convergencia
TI:ao
TI:an

an =

TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
ComplejasTI:cn
TI:cn para f

=

0

1 π
1
f (x) dx =
π −π
π
π
1
x2
πx −
π
2 0
π
2
1
π
1
π

π

(π − x) dx

0 dx +
−π

0

π

f (x) cos(n x) dx
−π

0

π

(π − x) cos(n x) dx

0 dx +
−π

0

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Serie de
Fourier
Sk

a0 =
=
a0 =

Convergencia
TI:ao
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