Cientifico

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE MATERIAS PROPEDÉUTICAS

APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ELABORADOS POR M. EN C. LORENA ELIZABETH MANJARREZ GARDUÑO

NOMBRE DEL ALUMNO(A): _____________________________________________

FEBRERO DE 2010

Contenido
Capítulo I. Introducción Capítulo II. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Capítulo III.Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Capítulo IV. Transformada de Laplace Capítulo V. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Capítulo VI. Series de Potencias Capítulo VII. Ecuaciones en Derivadas Parciales

Bibliografía utilizada y recomendada
• Zill, Dennis y Cullen, Michael. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 8ª ed. Ed. Thomson. México. • Ayres,Frank. (2005). Ecuaciones diferenciales. Ed. McGraw Hill. México. • Edwards, Henry y Penney, David. (2001). Ecuaciones diferenciales. 2ª ed. Ed. Prentice Hall. México. • Simmons. (2006). Ecuaciones diferenciales. Ed. McGraw Hill. México. • Nagle, R. Kent, et.al. (2005). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. 4ª. Ed. Ed. Pearson. México.

Capítulo I. Introducción

CAPÍTULOI INTRODUCCIÓN
Temas a tratar en este capítulo: - Definición - Clasificación de las ecuaciones diferenciales - Solución de una ecuación diferencial - Clasificación de las soluciones - Verificación de soluciones

En las ciencias y la ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos. Con frecuencia, estos modelos producen una ecuación que contiene algunasderivadas de una función incógnita. Esta ecuación es una ecuación diferencial. En términos generales, un modelo matemático es una descripción matemática de un sistema o fenómeno. La construcción de un modelo matemático de un sistema inicia con la identificación de las variables responsables del cambio que se produzca en el sistema. Posteriormente se debe especificar el nivel de resolución delmodelo (ya que tal vez en principio no se incorporen todas las variables) para después formular un conjunto de hipótesis acerca del sistema que se intenta describir (ver figura I.1). Dado que las suposiciones acerca de un sistema con frecuencia implican una tasa de cambio de una o más variables, la representación matemática de todas estas suposiciones puede implicar una o más ecuaciones queinvolucren derivadas. Es decir, el modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales.

Figura I.1. Diagrama de proceso para establecer un modelo matemático. Semestre 2010A 1

Capítulo I. Introducción

Para ilustrar lo anterior se presenta el siguiente ejemplo: Una enfermedad contagiosa (como un virus de gripe) se difunde en una comunidad por medio delcontacto físico entre las personas. Si x(t ) indica el número de personas que han tenido contacto con la enfermedad y y (t ) el número de personas que no han sido expuestas a ésta, parece razonable asumir que la a la que se difunde la enfermedad es proporcional al número de encuentros o razón dx dt interacciones entre estos dos grupos de gente. Si se supone que el número de interacciones esconjuntamente proporcional a x (t ) y y (t ) , es decir, proporcional al producto xy , entonces

dx ≈ xy dt
es decir,

dx = kxy dt

(1)

donde k es una constante de proporcionalidad. Considérese una pequeña comunidad que cuenta con una población fija de n personas. Si una persona infectada se introduce en esta comunidad, entonces x (t ) y y (t ) se encuentran relacionados por x + y = n + 1. De estaúltima ecuación y = n + 1 − x , sustituyendo esto en (1), se obtiene el modelo:

dx = kx(n + 1 − x ) dt

(2)

Una condición inicial evidente que acompaña a la ecuación (2) es x(0) = 1 . Al resolver dicha ecuación diferencial, se obtendrá la ecuación x(t ) que indique el número de personas que han tenido contacto con la enfermedad en cualquier instante de tiempo, y por ende se podrá...