Cinemática

1. Encuentre la distancia recorrida y el desplazamiento realizado por la partícula, al pasar del punto 1 al punto 2 mostrados en la figura 200.
8m Punto 1 4m 8m Punto 2

4m

4m

Figura 1 SOLUCIÓN La partícula avanza por tres segmentos, dos son rectos y uno es curvo, específicamente una semicircunferencia. Comenzaremos calculando la longitud de la primera recta, esto es desde el punto 1hasta donde da inicio la semicircunferencia. Fíjese que podemos formar un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es la longitud del primer recorrido que hará la partícula.
8m

d1 =
4m

(4m)2 + (8m)2

d1 = 80m
Por tanto, la primera distancia recorrida por la partícula es 80m . Figura 2 La segunda distancia realizada, como ya se dijo antes, es la longitud (o perímetro) de lasemicircunferencia formada. La longitud de una circunferencia está dada por C = 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.

4m r
Figura 3

C 2 2πr d2 = = πr = (2π )m 2 d2 =

Por tanto, la segunda distancia recorrida por la partícula es (2π)m. La tercer distancia es la longitud de la tercer línea, pero podemos verificar que tiene la misma longitud que la primera, porque tiene las mismas medidas.Entonces, la distancia total recorrida por la partícula es dT = d1 + d2 + d3 =

80m + (2π)m +

80m = 24.17 m

El desplazamiento, en cambio, es simplemente el vector que parte del origen del movimiento y llega al fin de él, en el gráfico adjunto, presentado en la figura 4.

8m

4m DESPLAZAMIENTO

8m

4m

4m

Figura 4 del gráfico mostrado podemos concluir que el vector desplazamiento esˆ ∆x = (20 i )m
y la magnitud del desplazamiento es ∆x = 20m ∆ 2. Un auto sale del punto A y se dirige al punto B (véase la figura 5), determine cuál es el desplazamiento de la partícula y cuál es la distancia recorrida por la partícula.

r = 50 m 200 m

A

B

Figura 5 SOLUCIÓN El desplazamiento es el vector que se muestra en la figura 6. La hipotenusa del triángulo formado es lamagnitud del desplazamiento.

ˆ ∆r = − 250i − 250 ˆ m j
∆r = 250 2 + 250 2 m

(

)

∆r = 353.55m
250 m

A

250 m

D es pl az am

Cabe aclarar que los 250 m son la suma de los 200 m que hay hasta el inicio del tramo curvo, más los 50 m que corresponden al radio de la trayectoria circular. La distancia es la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula. En la figura 204 semuestra con línea roja el

B

Figura 6

ie nt o

recorrido realizado por la partícula, y la longitud de esa línea roja es la distancia. Por tanto la longitud recorrida es la suma de las longitudes de las rectas más la longitud de las ¾ partes de la circunferencia de radio 50 m.

A 200 m

3 d = 200m + 200m + C 4 3 d = 400m + (2 × π × 50m ) 4 d = 653.92 m

B

Figura 7 3. Un autodemora 5 segundos en ir del punto A al punto B, determine la velocidad media y la rapidez media del auto entre los puntos A y B.
B 6m

A

6m

9m

Figura 8

SOLUCIÓN
En la figura 9 se muestra el desplazamiento realizado por la partícula (recorrido que no es real) y la distancia recorrida por la partícula
Distancia B
laz Desp nto amie

6m

A

6m

9m

Figura 9 Se puede verclaramente que el desplazamiento es media es

ˆ ∆r = 15i + 6 ˆ m , por lo tanto la velocidad j

(

)

Vm =

(15iˆ + 6 ˆj )m
5s

ˆ Vm = 3i + 1.2 ˆ m / s j
La magnitud de la velocidad media es

(

)

Vm = 3 2 + 1.2 2 m / s Vm = 3.23 m / s
La rapidez media es, en cambio,

Rapm =

d1 + d 2 t

donde d1 es la hipotenusa del triángulo que tiene como base 6 m y altura también 6m,mientras que d2 es 9m. d1 =

(6m)2 + (6m )2

=

72 m

Rapm =

72 m + 9m 5s Rapm = 3.50 m / s

Fíjese que la rapidez media es mayor que la magnitud de la velocidad media. 4. Encuentre la velocidad media y la rapidez media de la pelota que está amarrada a la cuerda, y que sale del punto P y llega al punto Q, si demora 0.65 s en el recorrido.
85 cm P 60 cm Q

Figura 10 SOLUCIÓN La...