cinematica de la particula

1

1. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
1.1

Movimiento rectilíneo

1.1.1 Posición en función del tiempo
1. La posición de una partícula que describe
una línea recta queda definida mediante la expresión s
= t3/3 − 9t + 2, donde si t está en s, s resulta en m. Determine: a) la aceleración de la partícula cuando su
velocidad es de 7 m/s; b) su velocidad media desde t
= 3 hasta t = 6 s. c)Dibuje las gráficas tiempo-posición, tiempo-velocidad y tiempo-aceleración del movimiento de la partícula, durante los primeros seis
segundos.

0

P
s

Resolución
Ecuaciones del movimiento
1
s = t 3 − 9t + 2
3
ds
v=
= t2 − 9
dt
dv
a=
= 2t
dt

a) Tiempo en que la velocidad es 7 m/s
7 = t2 − 9
t 2 = 16
t = ±4

La raíz negativa no tiene significación física en este
caso.

2Cinemática de la partícula

Para t = 4

a = 2(4) ; a = 8 m

s2

→

b)
∆s s6 − s3
=
∆t
3
1
s6 = (6)3 − 9(6) + 2 = 20
3
13
s3 = (3) − 9(3) + 2 = −16
3
20 − ( −16)
; v m = 12 m s →
t (s) vm =
3
vm =

s (m)
20
3

2
-16

6

c) Tabulación para dibujar las gráficas

v (m/s)

t

t (s)
-9

3

6

a (m/s2)
12

6

t (s)
3

6

3

6

s
v
a27

0
2
-9
0

-16

20
27
12

0
6

Cinemática de la partícula

1.1.2 Velocidad en función del tiempo
2. La velocidad de un punto P que se mueve
sobre el eje de las ordenadas, que es un eje vertical
dirigido hacia arriba, se puede expresar como v = 6 t2
− 24, en donde v se da en ft/s y t en s; además, cuando
t = 0, entonces y = 6 ft. Calcule: a) la magnitud y la
dirección dela aceleración del punto cuando t = 3 s;
b) el desplazamiento del punto P durante los primeros
cuatro segundos; c) la longitud que recorre durante
ese mismo lapso. d) Dibuje esquemáticamente las
gráficas del movimiento del punto P.

y

P
0

Resolución
Ecuaciones del movimiento
Como v =

dy
dt

entonces:
dy = vdt

∫ dy = ∫ vdt
y = ∫ (6t − 24) dt
y = ∫ (6t − 24) dt
2
2

y= 2t 3 − 24t + C
S i t = 0, y = 6
6=C
Por tanto:

y = 2t 3 − 24t + 6
v = 6t 2 − 24
dv
a=
= 12t
dt
a) Para t = 3
a = 12(3) ;

a = 36 ft

s2

↑

3

4

Cinemática de la partícula

b)

∆y = y4 − y0

y (ft)

En donde:
38
2

6

t (s)

-26

4

y4 = 2(4)3 − 24(4) + 6 = 38
y0 = 6
∆y = 38 − 6
∆y = 32 ft ↑
c) Para conocer la distancia que recorre,investigaremos cuando v = 0

v (ft/s)

0 = 6t 2 − 24
t2 = 4
t = ±2

72

Sólo la raíz positiva tiene significado físico
t (s)
-24

2

y2 = 2(2)3 − 24(2) + 6 = −26

4

Por tanto, la partícula se movió de y0 = 6 a y2 = −26
y luego a y4 = 38
D = ∆y (0 − 2) + ∆y ( 2 − 4)

a (ft/s2)

D = − 26 − 6 + 38 − ( −26) = 32 + 64
D = 96 ft

24

d) Tabulación para dibujar las gráficas
12

tt (s)
2

4

0

2

4

y
v
a

-26 38
6
-24 0 72
0
24 48

5

Cinemática de la partícula

3. En la figura aparece la gráfica de la magnitud de la velocidad de una partícula en función del
tiempo. Se sabe que cuando t = 0, la posición de la
partícula es s = + 8 in. Dibuje las gráficas tiempoaceleración y tiempo-posición del movimiento de la
partícula.

v (in/s)

20
t(s)

2

4

6

-20

Resolución
a (in/s2)

La magnitud de la aceleración es igual a la pendiente
de la gráfica tiempo-velocidad; durante los primeros
cuatro segundos es positiva de 40/4 = 10 y después es
nula.

10

t (s)
2

4

(La gráfica tiempo-aceleración puede ser discontinua
como en este caso, pero nunca las gráficas tiempovelocidad y tiempo-posición)

6

s (in)48

La gráfica tiempo-posición comienza, según los datos,
en s = + 8. Desde t = 0 hasta t = 2, la pendiente de la
curva que comienza siendo negativa, va disminuyendo en magnitud hasta hacerse nula: el desplazamiento
en ese lapso es igual al área bajo la gráfica tiempovelocidad, es decir 20. De 2 a 4 s el comportamiento
de la gráfica es inverso al anterior y cuando t = 4, la
partícula...