cinematica

r

,

MECANICA

CAPÍTULO III
~

~

CINEMATICADE LA PARTICULA. MAGNITUDES
FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
A) MAGNITUDES FUNDAMENTALES
FORMULARIO
Ecuación vedorial

horaria

(radio vedor

o vedor

de la trayectoria
/1 (x, y, z) = O

/2 (x, y, z) = O
Velocidad media y vedor

velocidad
~U

u=M"

P' (x', ),1', z')

k

r=x(t) i+y(t)j+z(t)
Ecuacionesanalíticas

z

de posición):

y ley horaria:

s = s(t)
I

y
media:

- ~r
V=~t

- t;s
v=~t

Vedor velocidad:
dr
'1"=-=Idrl

A

ds

z

12

r2

Vedor aceleración

/:11

Vedar desplazamiento. Vector velocidad media.

dr

r. es el vedar unitario tangente a la trayectoria y es una función del tiempo.

f.rl

-+

=/:1t

dr = v(t)dt
1t]
6.v

a=6.t

media:

yVedor aceleración:
d2r
a

= ;: = ¡,= ax

(t) i + ay (t)j

+ az (t) k = dt2

dv
=

di

U2

A

dv

StlJ

12

=1 a (t)dt
tI

v y a pertenecen
(plano osculador).

Problema 111-1. La ecuación vedorial horaria de una partícula que se mueve en un plano, viene
dada en el SIpor la expresión: r = (2t2 - 1) i + (t3 + 1) j. Calcular:
1. Elveetor de posición inicial.
2. Ladistancia al observador (distancia al origen del sistema de referencia) a los 5 s de haber empezado a contar el tiempo.
3. Espacio recorrido por la partícula en el tercer segundo.
Solución
1) t= O
I

2) t=5s

ro =-1 + } m

I

Po(-l,l)m

rs = 491+ 126} m

Problema 111-2. La ecuación vectorial horaria del movimiento de una partícula escrita en el SI
es: r =(3 - 6e - 3t3)i + (5 + 4t2+ 2t3)J + (2 + 2t2 + t3)k. Determinar la ecuación analítica de su
trayectoria y su ley horaria.

al mismo plano

52

CINEMÁTICA DE LA PARTíCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Solución

= 3 - 6t2 - 3t3
Y = 5 + 4t2 + 2t3
z = 2 + 2t2 + t3

x

=>

x- 3=-3(2t2 +t3)
y - 5 = 2 (2t2 + t3)
Z- 2 = 2t2 + t3

1~=9=TI

La ecuación analítica de la trayectoria es unarecta cuyos parámetros directores son proporcionalesa
-3,2,1.
1 er MÉTODO:

Para t= O => ro=31+5) +2k, y como:

2
y=--~-~+5
3
1
z=--~-~+2
3
sustituyendo

, dy
y =-=-dx

2
3

x

s=

, dz
1
z = dx =-"3
x

=x(t),

obtenemos:

I

4
Jlii
:t -dx=:t-(x-3)

I P:
3

s (t) = :¡:.Jfii (2t2 + t3)

9

3

SI
I

2° MÉTODO:

v=dr=-3(4t+3t2)1+2(4t+3t2)j+(4t+3t2)k
dt

=> u=lrl=s=:t.J}4(4t+3t2)=ds

dt

=>

SI

y (m)

8

2

7

Problema 111-3. La ecuación vectorial horaria del movimiento de una partícula que se mueve en
un plano OXY, viene dada en el SI: r = = (2t + 1) i + 2 (2t + 1)3/2/3 Determinar la ecuación
j.
analítica [y =f(x)] y su ley horaria [s = s(t)] Y representarlas.

3/2

Y="3x

6
5

Solución

4

3
2
1La ecuación analítica de su trayectoria [escrita en forma implícita y = f(x)] la obtenemos:
x=2t+1

o

2
Problema

3

IIJ-3-la.-

4

X(m)
+-5

Trayectoria.

2
y =-(2t
3

1 er MÉTODO:
En nuestro

30

s

=4

(Gráfica la)

.

caso: si t = O => Xo= 1 m, obteniéndose:

j!

S

[(t+ 1)3/2
-1]

s(t)=

20

d

x

ds=
~1+y'2
SSo SXo

dx

Ay,=..l!...=.JX
dx

x
2
x
2
s (x) = 1.J1+ x dx = -(1 + X)3/2 1 = -[(1 + x)3/2- 2 H]
3
3

I

15
10

[

5

o

SI

La obtención de su ley horaria se puede hacer utilizando dos procedimientos:

s(m)
25

=>
+ 1)3/2

2

3

4

s (t)

t
+-(s)
5

=~

[(2t + 2)3/2

- 2 .J2]

]

= 4;Z [(t

+ 1¡3/2

SI

- 1]

x=2t+1

A

(Gráfica2a)

En la que para t = O=> So= O.
Problema

III-3-2a.- Ley horaria.

2°

MÉTODO:

v = dr = r = 21 + 2 .J2t + 1 J
dt

u=s= ds =2.J2.,{t+I
dt

s (t) = J~2.J2 .,{t+I dt = 4 j!

[(t +

1)3/2

- 1]

SI

Problema
111-4. La ley horaria de un punto móvil está dada en el SI por la expresión:
5= t2 + t + 1. Calcular:
1. Posición inicial del móvil.
2. Velocidad media en el intervalo comprendido...