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Teorema de Varignon
Es un teorema descubierto por primera vez por el matemático neerlandés Simon Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1724 en su tratado Nouvelle mécanicque, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los matemáticos franceses de su época, decidiótrasladar las ideas expuestas por Newton a la notación y al enfoque que sobre el análisis sostenía Leibniz.
Enunciado
El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino como entelequias tremendamenteabstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.
Su enunciado, según la terminología actual, vendría a ser:
El momento resultante sobre un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzasaplicadas.
Demostración
Sea un sistema de n fuerzas concurrentes, F1, F2,...,Fi,...,Fn, vectores en un espacio euclídeo, que tiene como punto de aplicación un cierto punto A. El momento de cada fuerza Fi con respecto a O será: Mi = rxFi (producto vectorial). Escribimos r y no ri, ya que todas las fuerzas se aplican en el mismo punto. El momento de la resultante R es: M = rxR donde R = F1 + F2 +Fi +... + Fn y r es nuevamente el vector posición común. Aplicando la propiedad del producto vectorial, tenemos:
rxR = rx(F1 + F2 + Fi + ... + Fn)
rxR = rxF1 + rxF2 + rxFi + ... + rxFn) entonces
M = M1 + M2 + Mi + ... + Mn
"el momento resultante es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas si estas son concurrentes"
Esto es, si las fuerzas , ; se aplican en un punto P,podemos concluir inmediatamente por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, que:

La figura formada cuando se unen en el orden dado los puntos medios de un cuadrángulo, es un paralelogramo y su área es la mitad de la del cuadrángulo.

Si una diagonal divide un cuadrángulo en dos triángulos de áreas iguales, corta en el punto medio a la otra. Recíprocamente, siuna diagonal divide a la otra en su punto medio, divide al cuadrángulo en dos triángulos de igual área.

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE.
El momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto O.
Esto es, si las fuerzas, F1, F2, F3 Y F4; se aplican en un punto P, comose indica en la figura siguiente, podemos concluir inmediatamente por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, que:
r x (F1, F2, F3 Y F4 + …) = r x F1 + r x F2 +…..

X
Z
Y
O

r
A
F1
F2
F3
F4

Diagrama de cuerpo libre

P2 = ¿

T = ¿

r1 = 3 m
r2 = 2 m
O
60 N

Para que el cuerpo esté en equilibrio de traslación y rotación tenemos que:
*Aplicando la primera condición del equilibrio.
* ΣFy = 0 = T + (-P1)+ (-P2)….. (1)
* Sustituyendo en la ecuación 1 :
* ΣFy = T- 60 N-P2= 0
* T = 60 N + P2.
Para calcular el valor de la tensión debemos conocer el peso que equilibrará al sistema, de donde al sustituir en la ecuación 2, tenemos que la suma de momentos en el punto O es igual a:
* Aplicando la segunda condición delequilibrio y calculando momentos de torsión respecto al punto O donde se aplica la tensión
* ΣMo= P1r1-P2r2= 0
* P1r1 = P2r2. despejando P2 tenemos:
* P2 = P1r1 P2 = 60 N x 3 m = 90 N
* r2 2 m
* Por lo tanto el peso que equilibra es de 90 N y la tensión del cable es:
* T = P1 + P2 = 60 N + 90 N = 150 N
La equivalencia estática es una...