Circulo De Mohr

TEMA 5
RESISTENCIA AL
ESFUERZO CORTANTE
DE LOS SUELOS
PROFESOR: Ing. OSCAR DONAYRE CÓRDOVA
UNIVERSIDAD RICARDO PALMA

LABORATORIO DE MECANICA DE SUELOS Y ASFALTO

INTRODUCCIÓN
ESFUERZOS PRINCIPALES Y CÍRCULO DE MOHR
El esfuerzo normal en un punto situado en el interior de una
masa de suelo suele ser una función de la orientación del plano
elegido para su definición. Es así que,generalmente se añaden
subíndices a los símbolos σ y τ para especificar la forma en que
se definen dichos esfuerzos.
Esfuerzos Principales
Para cualquier punto sometido a esfuerzos existen tres planos
ortogonales en los cuales los esfuerzos tangenciales son nulos,
estos planos se denominan Planos Principales. El mayor de estos
tres esfuerzos se denomina esfuerzo principal mayor σ1; el
menor esel esfuerzo principal menor σ3 y el tercero es el
esfuerzo principal intermedio σ2
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Cuando los esfuerzos son geostáticos, el plano horizontal
que pasa por un punto es un plano principal al igual que
todos los planos verticales a traves del punto.
Considerando que si:
K1 : σh = σ1; σv = σ3 y σ2 = σ1 = σh
K=1 : σv =σh = σ1 = σ2 = σ3

(Estado de esfuerzos isotrópico)

Los esfuerzos tangenciales sobre dos planos ortogonales
cualesquiera deben ser numericamente iguale. Por lo que,
τh = τv.
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CÍRCULO DE MOHR
En nuestro estudio nos referiremos unicamente a los
esfuerzos existentes en el estado bidimensional.
Interesandonos elestado de esfuerzos verticales
mayor y menor σ1 y σ3.
Para ello se empleará la convensión siguiente:
σde compresión “positivo”
σde Tracción o Tensión “negativo”
τ en sentido antihorario “positivo”
τ en sentido horario “negativo”

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De acuerdo a la figura y dado un estado de esfuerzos
en un punto (a) σ y τ en cualquierotra dirección se
puede calcular mediante el diagrama de Mohr (b):

Dirección de σ3

τθ
σθ
τθ

σ1

A

θ

σ3
Dirección de σ1

σ3

θ

2θ

(σθ, τθ)

σ1 σθ

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Solución gráfica de Mohr

Se establece que al construir el plano coordenado (σn, τn),
a cada versor, que representa un plano a través delpunto
“A” con dirección definida, le corresponde un punto en ese
plano coordenado, cuyas coordenadas miden los esfuerzos
ligados a dicho plano. Sin embargo, la recíproca es falsa;
es decir, existen puntos en el plano (σn, τn) que no
representan esfuerzos actuantes en el punto “A”.
Las ecuaciones referidas a los esfuerzos principales para
determinar los esfuerzos (σn, τn), teniendo en cuentalas
expresiones trigonométricas, la siguiente:

σn =

σ1 + σ 3

+

σ1 −σ 3

2
2
σ1 −σ 3
τn =
sen(2θ )
2

cos(2θ )

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τ

Círculo de Mohr.

τ zx

A

σz

τ xz
Pólo

A
(σz , τ zx )

θ

σ3

(σx , τ xz )

σx

σx
τ xz

τ zx
σz

A'

2θ

σ1

(σc , τ c )

σ

PlanosPrincipales

A'
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sen φ =

τ

σ1

q

σ3

y

σ1

σ1

τ

σ3

σ1 − σ 3

σn

σ1 + σ 3

1 − senφ
σ3
=
σ1
1 + senφ

c’
τ=

+σ

σn

x

φ’

n φ’
‘ n ta

σ3

τ

p + c cot φ

si c = 0
senφ =

σ1

z

2θ = 90 + φ
θ = 45 + φ /2

τ

c’

θ
σ3

C cot φ

p = σ1 + σ 3
2

σθ= σx +σz +(σx −σz ) ⋅cos 2 θ
2

2

φ
2θ

0
=9

Radio

φ
+φ

q = σ1 − σ 3
2

Polo

σ

σ1

σn
∆ σ 1 = σ1 − σ3

+ τ xz sen 2 θ

τθ

σ−
=( x

2

σz )

⋅ sen

2 θ − τ xz cos 2 θ

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RESISTENCIA AL CORTANTE
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