Circulo de mohr

Dpto. Física y Mecánica

Círculo de Mohr
Elvira Martínez Ramírez
OCW-UPM

Justificación matemática

OCW-UPM

Dada una figura, de área A, se quiere
conocer las rectas R1 y R2 que
proporcionan el máximo y mínimo
valor del momento de inercia, así
como dichos valores de los momentos
de inercia

Y

X

α

R1
Una recta R que proporcione un máximo (o mínimo) del
momento de inercia forma con el eje OXun ángulo α
OCW-UPM

I R = I OX cos α + I OY s en α − 2 PXY senα cos α
2

2

sen 2α = 2 senα cos α
1
sen α = (1 − cos 2α )
2
2

1
cos α = (1 + cos 2α )
2
2

I OX + I OY I OX − I OY
IR =
+
cos 2α − PXY sen 2α
2
2
OCW-UPM

PR1R2 = PXY sen(α + β ) − I OX cos α cos β − I OY senα senβ
Si R1 es perpendicular a R2

β =α +π / 2

senβ = cos α
cos β = − senα
sen(α + β ) = cos 2α
PR1R2

 I OX − I OY 
=PXY cos 2α + sen2α 

2


OCW-UPM

Si el producto de inercia respecto a dos rectas R1 y R2 es
nulo, se verifica

 I OX − I OY
PXY cos 2α + sen2α 
2



=0


Una de las rectas formará con la horizontal un ángulo α de
forma que se cumple

2 PXY
tg 2α =
I OY − I OX
El momento de inercia respecto a dicha recta será máximo
o mínimo
OCW-UPM

Reordenando las ecuaciones anteriores

I OX + I OY IOX − I OY
IR −
=
cos 2α − PXY sen 2α
2
2

 I OX − I OY
=
2


PR1R2


 sen 2α + PXY cos 2α


Elevando al cuadrado cada ecuación
I OX + I OY   I OX − I OY 

 I OX − I OY
2
I
−
=
−
cos
2
α
2


 R
 
2
2
2

 


2

2

 I OX − I OY 
 I OX − I OY
2
=
 sen 2α + 2 PXY 
2
2



2

PR21R2


2
2
P
sen
+
P
sen
2
α
cos
2
α
2α
XY
 XY



2
2
sen
2
α
cos
2
α
+
P
cos
2α
XY

OCW-UPM

Sumando las dos ecuaciones

I OX + I OY 

 I OX − I OY 
2
2
−
+
=
+
I
P
P
R
R
R
XY




1 2
2
2




2

2

Ecuación análoga a la de una circunferencia de radio R y centro
C(a,b)

( x − a ) + ( y − b) = R
2

Donde

C

(

I OX + I OY
2

,0

)

2

y

R=

(

I OX − I OY
2

)

2

2

2
+ PXY

OCW-UPM

R=

(

) +P

I OX − I OY 2
2

2
XY

R

PXY
2α

O

C
I OX + I OY
2

I OX − I OY
2Calculamos el radio por aplicación del teorema de Pitágoras
OCW-UPM

tg 2α =

PXY

I OX − IOY
2

2 PXY
=
I OX − I OY

R

PXY
2α

O

C
I OX − I OY
2

Calculamos la tangente del ángulo
OCW-UPM

Construcción geométrica

OCW-UPM

P

Elegir unos ejes y una escala apropiada para dibujar los
momentos y productos de inercia

Nombrar los ejes

I
Los momentos de inercia
son siempre positivos, los
productos
deinercia
pueden ser positivos,
negativos o nulos .

OCW-UPM

P

P

• A(IOX, PXY)

• A(IOY, PXY)

PXY>0
I

I
• B(IOX, - PXY)

• B(IOY, - PXY)

P

P

IOX>IOY
• B(IOY, - PXY)

PXY<0

IOY>IOX

• B(IOX, - PXY)

I
• A(IOX, PXY)

I
• A(IOY, PXY)
OCW-UPM

P

Suponiendo Pxy positivo e IOX>IOY

•

Y

X

A(IOX, PXY)

I

O
•

B(IOY, - PXY)

Dibujar
los puntos
A(IOX, PXY) y B (IOy, PXY).

OCW-UPM

P
•
A(IOX,PXY)

C

O
•

B(IOY, - PXY)

Conectar los puntos A
y B, mediante una
línea recta.

I
El punto de corte con
el eje I es el centro de
la circunferencia, C.

OCW-UPM

Y

P
•

X

A(IOX, PXY)

PXY

C

O

I

I OX − I OY
2

•

(I

B(IOY, - PXY)
OX

− I OY

)
OCW-UPM

Dibujar la circunferencia con
centro en C y radio R=CA=CB

P
•

A(IOX, PXY)

R=

PXY

E•

•D

C
I OX − I OY
2

•

(I

B(IOY, - PXY)
OX

−I OY

)

(

I OX − I OY
2

)

2

+ PXY 2

I
Los puntos de corte de
la circunferencia con el
eje I, son los puntos D
yE
OCW-UPM

Los puntos de corte de
la circunferencia con el
eje I, son los puntos D
y E (D>E)

P
•
A(IOX, PXY)

O•E

•D

C
I OX − I OY
2

I OY

•

B(IOY, - PXY)

OD = I max = I OY +

IOX − IOY
2

+R

I

R

I max =

IOX + IOY
2

+R
OCW-UPM

OE = I min = OC − CE = OC − R

P

•A(IOX, PXY)

O•E

•D

C
I OX − I OY
2

I OY

•

R

I

Imi x =

I OX + IOY
2

−R

B(IOY, - PXY)

OCW-UPM

La tangente del ángulo que forma CA con CD es

P

PXY

•
α

O•E

2α

C
I OX − I OY
2

A(IOX, PXY)

IOX − I OY
2

2 PXY
=
I OX − I OY

PXY

•D

I
Que coincide con 2α

•

B(IOY, - PXY)

OCW-UPM

Para que la recta CA
(IOX) llegue a la recta
CD (Imax) tiene que
girar un ángulo 2α en
sentido horario...