Circunferencia
( ( x + 2) 2 + ( y + 0) 2 ) 2 + ( ( x − 2) 2 + ( y − 0) 2 ) 2 = 26( x + 2) 2 + y 2 + ( x − 2) 2 + y 2 = 26
2 x 2 + 2 y 2 = 18
x2 + y2 = 9
2.- Sean los puntos P(x,y), A(1,0) y B(-1,0). El punto P describe un lugar geométrico sujeto a la condición PA + PB = 4, con PA y PB distancias: a) Demuestra que la ecuación representativa del lugar geométrico es: 3x2 + 4y2 = 12. b) Grafique 3x2 + 4y2 = 12, indicando centro y vértices. Respuesta: PA= ( x + 1) 2 +y 2
y
PB = ( x − 1) 2 + y 2
Entonces PA +PB = 4 PA = 4 - PB /( ) 2 2 (PA) = 16 - 8PB +( PB) 2
( x + 1) 2 + y 2 = 16 − 8 ( x − 1) 2 + y 2 + ( x − 1) 2 + y 2 x 2 + 2 x + 1 = 16 − 8 ( x − 1) 2 + y 2 + x 2 − 2 x + 1 4 x − 16 = −8 ( x − 1) 2 + y 2
x 2 − 8 x + 16 = 4( x 2 − 2 x + 1 + y 2 ) x 2 − 8 x + 16 = 4 x 2 − 8 x + 4 y 2 3x 2 + 4 y = 12
/(
)2
→
3.-Determine los puntos P y Qque dividen al trazo AB en tres partes iguales, siendo A = (2, -6 ) y B = ( 5, 3 ). Respuesta: A P Q B
AP 1 = =λ PB 2
1 1 3 6 λx2 + x1 2 5 + 2 y = 2 =3⇒ x = = = 3 → P(3,−3) 3 3 1+ λ 2 2
AQ 6−6 2⋅5 + 2 =2⇒ y= =0⇒ x= = 4 → Q(4,0) 3 QB 3 2
RECTA 1.- En el plano cartesiano determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,3) y que es paralela a la recta de ecuación 3x – 2y + 6 = 0Respuesta:
3x − 2 y + 6 = 0 ⇔ y =
3 3 x+3⇒ m = . 2 2
Luego la ec.de la recta que es paralela a ésta y que pasa por el punto ( 1,3 ) es:
y −3 =
3 3 3 ( x − 1) ⇔ y = x + 2 2 2
2,.- Considere la recta L: hx + (h - 1)y - 18 = 0 con h ∈IR. a)Determine el valor de h tal que L sea paralela a la recta de ecuación 3x - 2y - 11 =0 b)Calcule h para que el centro de la circunferencia deecuación pertenezca a la recta L. Respuesta: a) L y la recta 3x - 2y - 11 = 0 son paralelas si tienen igual pendiente pendiente de L = − x2-8x+y2 -20y +112=0
h 3 , pendiente de la otra recta = h −1 2
hasta aquí 3,0 puntos
−
h 3 = h −1 2
⇔
h=
3 5
parte final 4,0 puntos
b)
x 2 − 8 x + y 2 − 20 y + 112 = 0
Centro de la circunferencia es (4, 10) Para que (4, 10)∈ L debe ser Locual ocurre si 14 h =28 ⇔
⇔
( x − 4) 2 + ( y − 10) 2 = 4
Hasta aquí 4,0 puntos
4h + 10( h - 1) - 18 =0 h=2
3.- Encuentre el valor de k, de modo que la recta 3kx + 5 y + (k − 2) = 0 pase por el punto ( -1, 4 ). Respuesta: Si la recta 3kx + 5 y + (k − 2) = 0 pasa por ( -1 , 4 ) , entonces este punto satisface su ecuación. Luego se tiene :
3k (−1) + 5 ⋅ 4 + k − 2 = 0 ⇔ −2k + 18 = 0 ⇔k = 9
4.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 5, -3 ) y es perpendicular a la recta 3y − 2x + 6 = 0 . Respuesta:
y=
2 3 x − 2 ⇒ m⊥ = − 3 2
Luego la ecuación de la recta es:
3 3 9 y + 3 = − ( x − 5) ⇒ y = − x + 2 2 2
5.-Sabiendo que el punto Q( 9 , 2 ) divide al segmento que determinan los puntos P ( 6 , 8 ) y A ( x , y ) en la razón a) b)
PQ 3 : = QA 7Hallar las coordenadas de A Determinar la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al segmento PA.
Respuesta:
a)
∴
3 3⎞ ⎛ 8+ y ⎟ ⎜6+ x 7 , 7 ⎟ ⇒ ( 9 ,2 ) = ⎛ 42 + 3 x , 56 + 3 y ⎞ (9, 2) =⎜ ⎜ ⎟ 3 ⎟ 10 ⎠ ⎜ 1+ 3 ⎝ 10 1+ ⎟ ⎜ 7 7 ⎠ ⎝ 42 + 3 x 56 + 3 y ∧ 9= 2= 10 10 90 − 42 = 3 x ∧ 20 − 56 = 3 y ∧ −36 = 3 y 48 = 3 x ∧ x = 16 y = − 12
⇒
b)
A (16 , − 12 )
mPA = m( 6,8)(16 , −12 )
=
− 12 − 8 1 = − 2 ⇒ mL = 16 − 6 2
∴ Dado la ecuación punto pendiente se tiene L : y + 12 =
Es decir la ecuación pedida está dada por
1 (x − 16) 2 L : X − 2Y − 40 = 0
CONICAS 1.- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice este sobre la recta de ecuación 2 y − 3 x = 0 , que su eje sea paralelo al de coordenadas x y que pase por los puntos (3,5) y (3,−1)...
Regístrate para leer el documento completo.