CIRCUNFERENCIAS

La circunferencia

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LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de puntos de un plano que equidistan de un punto
fijo llamado centro. La distancia de un punto de la circunferencia al centro se llama radio.
ANGULO CENTRAL: Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.
AB o que el
 AOB es un ángulo central y se dice que intercepta el arco 
arco subtiende alángulo.

AB se llama arco menor

BCA se llama arco mayor.

Un ángulo central mide lo mismo que el arco que subtiende (en grados)
m AOB m 
AB
POSTULADO DE LA ADICION DE ARCOS.
m 
AC

m 
AB


m BC

TEOREMA
Si dos ángulos centrales de la misma circunferencia o de circunferencias congruentes son
congruentes entonces sus arcos interceptados son también son congruentes.
HIPOTESIS: AOB COD
ABTESIS: m 


m CD

AB
1. m(  AOB) = m 

1. Por ser un ángulo central


2. m(  COD) = m CD

2. Por ser un ángulo central

3. m(  AOB) = m(  COD)

AB m CD
4. m 

3. De hipótesis
4. De 1, 2, 3 Propiedad transitiva

La circunferencia

2

ANGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

DEFINICION: Una cuerda de una circunferencia es un segmento de recta que tiene sus
extremos sobre la circunferencia.Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia
TEOREMA
La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del
arco interceptado
CASO 1. Cuando uno de los lados es un diámetro.
HIPOTESIS:  ACB es un ángulo inscrito
O centro de la circunferencia
CB es un diámetro

TESIS: m ACB

m 
AB

1. Se traza AO
2. OA OC
3. m( )

m( )

4. m(  AOB) =m(arco AB)
5. m(  AOB) = m( ) m( )
6. m(AOB)
AB )
7. m( 

2m( )

2 m( )

m( 
AB )
2

2

1. Construcción
2. Los radios de una circunferencia son
congruentes
3. De 2. En un triangulo a lados congruentes
se oponen ángulos congruentes
4. Por ser AOB un ángulo central
5. Un ángulo exterior de un triangulo es
igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes a el.
6. Sustitución de 3 en5.
7. Sustitución de 4 en 6 y algebra.

m( )

CASO 2: Cuando el centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.
HIPOTESIS: Circunferencia de centro O
 ACB es un ángulo inscrito.

TESIS: m ACB

m 
AB
2

La circunferencia

3
1. Construcción
2. De 1, caso 1.

1. Se traza el diámetro CD
m( 
AD )
2. m(ACD )
2
)
m( DB
3. m(DCB )
2
4. m(ACD) m(DCB )
5. m(ACB )

3. De 1, caso 1

m( AD)
2

)
m( DB
2

4. Adición de 2 y 3

m( 
AB )
2

5. De 4. Adición de ángulos y de arcos.

CASO 3: Cuando el centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo.
HIPOTESIS: Circunferencia de centro O
 ACB es un ángulo inscrito.

TESIS: m ACB

m 
AB

1. Se traza el diámetro CD
2. m ACD
3. m BCD

1. Construcción
2. De 1. Caso 1

m 
AD
2

m BD

3. De 1. Caso 1

2

4. m(  ACB) = m( ACD) – m(  BCD)
5. m ACB
6. m ACB

2

m 
AD


m BD

2
m 
AB

2

4. Resta de ángulos
5. Sustitución de 2 y 3 en 4.

6. De 5. Resta de arcos.

2

COROLARIO 1.

CD es un diámetro
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

La circunferencia

4

COROLARIO 2:

C

D

Los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes

COROLARIO 3:
Rectas paralelas determinan arcoscongruentes.
 
 m DC

AD  BC m BA

TEOREMA:
En una circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos
congruentes.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia; CD AB

TESIS: m CD

1. OA

OB OC
2. AB CD

m 
AB

OD

3.
AOB
COD
4. m (  AOB) = m (  COD)
5. m (  AOB) = m (arco AB) y
m (  COD) = m (arco CD)
6. m (arco AB) = m (arco CD)

1. Son radios de la mismacircunferencia
2. De hipótesis
3. De 1 y 2. L – L – L
4. De 3. Son ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
5. Son ángulos centrales
6. De 4 y 5. Propiedad transitiva.

TEOREMA. RECIPROCO DEL ANTERIOR.
En una circunferencia, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes. (Demostrarlo)
TEOREMA
Una recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda,
biseca a...