Citematica Rotacional

Cinem´tica de las Rotaciones
a

Mario I. Caicedo

1.

Motivaci´n
o
En este cap´
ıtulo queremos estudiar movimientos que se reducen a una rotaci´n pura. Para
o

ello vamos a introducir una noci´n nueva que consiste en asociar un car´cter vectorial a la
o
a
velocidad angular. Con este fin, y para comenzar la discusi´n, consideremos una part´
o
ıcula de
masa M que se mueve en unatrayectoria circular, de manera que su velocidad se expresa como
˙ˆ
v = R θ uθ

(1)

ˆ ˆ
ahora bi´n, sabemos que la base de versores {ˆr , uθ , k} satisface k × ur = uθ lo que nos permite
e
u ˆ ˆ
ˆ
poner
˙ˆ
˙ˆ
v = θ k × R ur = θ k × r
ˆ

1

(2)

donde r es el vector de posici´n de la part´
o
ıcula, esto sugiere asociar la velocidad angular con
el siguiente vector
˙ˆ
ω ≡θk .

(3)

˙
Seg´n esta definici´n, la velocidad angular debiera ser un vector de magnitud θ con direcci´n
u
o
o
ortogonal al plano de rotaci´n y orientado seg´n la regla de la mano derecha. La posibilidad
o
u
de hacer esta asociaci´n resulta a´n m´s tentadora cuando observamos que -en el caso que
o
u
a
˙
estamos estudiando- si multiplicamos la tasa de giro θ por un factor, el vectorvelocidad angular
quedar´ multiplicado por dicho factor, adem´s, como estamos utilizando vectores podr´
a
a
ıamos
considerar la suma de dichos vectores para asociarla con la suma de velocidades angulares.
Una ventaja adicional de la propuesta consiste en que esta nos permitir´ expresar el Momenıa
tum angular de la part´
ıcula (medido con respecto al centro de coordenadas) como lo definimoscuando estudiamos el movimiento bajo la acci´n de fuerzas centrales como
o
L = Iω,

donde: I ≡ M R2

.

(4)

M´s adelante vamos a aprender que el Momentum angular representa un an´logo rotacional del
a
a
Momentum lineal (p = m v), en el que el papel de la masa lo juega la cantidad I denominada
“momento de inercia”.
En las siguientes secciones vamos a estudiar en detalle notandoparticularmente las dificultades las ideas que acabamos de introducir con respecto a la velocidad angular.

2

2.

El Car´cter Vectorial de la Velocidad Angular
a

2.1.

Rotaciones en un plano

Consideremos un vector (A) en el plano1 x − y. Si designamos por A (= axˆ + ayˆ) al vector
ı

que resulta de rotar al vector A en un ´ngulo θ alrededor del eje z (esto es alrededor de un ejea
perpendicular al plano x − y) en sentido antihorario.

y

A’
θ

A
x

Figura 1: La rotaci´n de un vector en el plano x − y, los vectores se denotan con negritas
o
Un ejercicio interesante consiste en convencerse de que las componentes de los vectores A y
A estan relacionadas por la siguiente expresi´n matricial
o



ax
ay





=

cos θ

−sen θ

sen θ

cosθ




ax
ay


 .

(5)

Estamos interesados en estudiar el caso especial en que el ´ngulo de rotaci´n es infinitesimal
a
o
(´ngulo de rotaci´n: δθ → 0). En tal caso: cos(δθ) ≈ 1 y senδθ ≈ δθ de forma que la matriz
a
o
1

en coordenadas cartesianas A = axˆ + ayˆ
ı


3

que representa a la rotaci´n se reduce a
o


M(δθ) = 

1

−δθ

δθ



1



;(6)

al calcular el producto matricial (5) en forma expl´
ıcita resulta
ax = ax − δθay
ay = ay + δθax ,

(7)

por otra parte observemos que
ˆ
δθ k × A = −δθayˆ + δθaxˆ
i
ı

(8)

de acuerdo a esto, podemos expresar la rotaci´n infinitesimal en la forma
o
ˆ
A = A + δθk × A .

(9)

La ultima f´rmula nos dice que para rotar un vector A un ´ngulo peque˜o basta con sumar a
´
oa
n
A un vector δ A que se construye como el producto vectorial de A por un vector ortogonal al
plano de rotaci´n con m´dulo δθ.
o
o
Por otra parte, las rotaciones finitas en el plano x−y conmutan entre si ya que corresponden
a rotaciones alredor de la suma de los ´ngulos de cada una de las rotaciones individuales, esto
a
lo podemos ver notando el producto de las matrices que...