Clase 2

´
CALCULO
INTEGRAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´
IN
CLASE # 2

5.2. La integral definida
n

En la secci´
on anterior estudiamos el lim

n→∞ i=1

f (x∗i ) ∆x. Este l´ımite tienesentido incluso cuando f no es positiva. De ah´ı

la siguiente definici´
on.
Definici´
on. Si f es una funci´
on continua definida para x ∈ [a, b]. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de
b−atama˜
no ∆x =
y elegimos los puntos x∗i ∈ [xi−1 , xi ]. Entonces la integral definida de f desde a hasta b, es:
n
n

b

f (x∗i ) ∆x.

f (x)dx = lim

n→∞

a

i=1

Observaciones.
• En

b
a

f (x)dx lafunci´
on f es llamada integrando y los n´
umeros a,b l´ımites de integraci´
on.

• La integral definida es un n´
umero y no depende de la variable que usemos, puede ser x, t, r, w, etc.
• En ladefinici´
on s´
olo se pide f continua, puede ser positiva o negativa.
• No importa quienes son los x∗i , pueden ser xi−1 o xi o un punto cualquiera en cada subintervalo.
• Si f ≥ 0, entonces

b
a

f (x)dx= a
´rea bajo f .

• Si f toma tanto valores positivos como negativos, tendr´ıamos algo como

Entonces
b
f (x)dx = A1 − A2 .
a

n

• A la suma
i=1

f (x∗i ) ∆x se le denomina Suma de Riemann de f .Ejemplo. (Parcial 02-2009 ) Interprete como una integral definida en el intervalo [0, 1] el siguiente l´ımite
n

lim

n→∞

i=1

(4i + n)4
.
n5

Soluci´
on. Observar que
n

lim

n→∞

Tomamos

∆x =

i=1n

(4i + n)4
= lim
n→∞
n5
i=1

4i
+1
n

4

·

1
.
n

b−a
1
i
= , f (x) = (4x + 1)4 y xi = . Por lo tanto
n
n
n
n

lim

n→∞

i=1

n

(4i + n)4
= lim
f (xi )∆x =
n→∞
n5
i=1

1

1

(4x + 1)4 dx.
0Ejemplo. Use la definici´
on para evaluar
4

(4 − x2 )dx.
1
b
a

Soluci´
on. Seg´
un la definici´
on

n

f (x)dx = lim

n→∞ i=1

∆x =

3
,
n

f (x) = 4 − x2 y xi = 1 +

n

4

(4 − x2 )dx = lim

n→∞

1

=lim

n→∞

f

1+

i=1

3n −

f (x∗i ) ∆x, podemos tomar x∗i = xi los extremos derechos

3i
n

3i
.
n

n

·

3
6i 9i2
= lim
4− 1+
+ 2
n n→∞ i=1
n
n

·

3
n

6(n + 1) 9(n + 1)(2n + 1)
3
−
· = 9 − 9 −...