Clase N 2

Universidad Cat´olica del Maule
Facultad de Ciencias B´asicas

C´
alculo Num´erico
Tema N◦ 2, 27 de Agosto de 2014

Ecuaciones e Iteraci´
on funcional
La busqu´eda de ra´ıces de ecuaciones es fundamental en cualquier proceso de c´alculo y en
aplicaciones varias. Un problema muy usual, y al parecer simple, es la determinaci´on del
a´rea entre dos curvas, por ejemplo, el ´area entre las curvasdefinidas por las funciones
f (x) = ex ,

g(x) = 2 − x2

lo que con ayuda de un graficador, nos muestra la existencia de esta a´rea:

La determinaci´on del ´area es calcular
x2

(g(x) − f (x)) dx

A =
x1
x2

2 − x2 − ex dx,

A =
x1

luego todo se basa en calcular x1 y x2 , es decir, los valores donde f (x) = g(x). Si establecemos
la ecuaci´on
h(x) = g(x) − f (x)
estamos pidiendo encontrar los ceros ora´ıces de la ecuaci´on h(x) = 0 o´ simplemente
2 − x2 − ex = 0.
1

Lo anterior parece una ecuaci´on sencilla, pero no lo es, es una ecuaci´on trascendente y no
existen procesos algebraicos que nos permitan despejar x. Lo que si tenemos, es una idea de
donde se encuentran estas ra´ıces por la simplesa de las funciones y su grafica.
El ejemplo anterior es fuente de motivaci´on para estudiar yanalizar m´etodos num´ericos para
calcular ceros de ecuaciones.
Teorema: Valor intermedio
Si f es una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] y elegimos alg´
un k ∈ (f (a), f (b)),
entonces siempre existe un valor c ∈ (a, b) tal que f (c) = k.

Obs: Si k = 0 entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 y por lo tanto hemos determinado
una ra´ız c de f, lo que indica que f (a) · f (b) <0.(cambio de signo)
Obs: Lo anterior indica que el cambio de signo f en un intervalo (a, b) es la localizaci´on de
una ra´ız simple f.
M´
etodo de la Bisecci´
on
Uno de los m´etodos de b´
usqueda de ra´ıces m´as intuitivo consiste en bisectar sucesivas veces
nuestro intervalo de localizaci´on (a, b) botando la mitad del intervalo donde no exista cambio
de signo. Esto es, sea x = p ra´ız de f (f (p) =0), con p ∈ [a, b] dado que f (a) · f (b) < 0,
a+b
∈ [a, b] , nombramos por a1 = a y b1 = b,
entonces determinamos el punto medio p1 =
2
calculamos
f (a) · f (p1 ) y f (p1 ) · f (b)
y elegimos el de cambio de signo renombrando por a2 = a1 y b2 = p1 o´ a2 = p1 y b2 = b, ......,
seg´
un sea el caso hasta acotar la ra´ız x = p. Luego el proceso es iterativo y consiste en
generar la sucesi´on {pn }tal que:
p ∈ [an , bn ] con n ∈ Z.
2

Criterios de Parada
El proceso de la bisecci´on es iterativo hasta que f (pn ) ≈ 0, es decir,
|f (pn )| < ε , 0 < ε
o

1

|pn − pn−1 |
< ε, pn = 0
|pn |

Los criterios anteriores pueden tener dificultades, pn − pn−1 → 0 mientras que {pn } diverge
o´ f (pn ) → 0 pero |pn − pn−1 |
1.
Teorema:
Si f es una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] tal que f(a) · f (b) < 0. El m´etodo
de la bisecci´on genera una sucesi´on {pn } → p con la propiedad
|pn − p| ≤

b−a
, con n ≥ 1
2n

Dem: Para n ≥ 1 todo subintervalo [an , bn ] satisface que su largo es la mitad del anterior,
esto es:
b n − an =

11
1
1
1
(bn−1 − an−1 ) =
(bn−2 − an−2 ) = ... = n−1 (b1 − a1 ) = n−1 (b − a)
2
22
2
2

y la ra´ız x = p ∈ (an , bn ) . Como pn =
|pn − p| =

an + b n
, paratodo n ≥ 1 entonces
2

1
an − p + b n − p
an + b n
−p =
≤ (|an − p| + |bn − p|)
2
2
2
|bn − an | |bn − an |
+
2
2

|pn − p| ≤

1
1
(|an − p| + |bn − p|) ≤
2
2

|pn − p| ≤

1 1
b−a
|bn − an |
=
(b − a) = n .
n−1
2
2 2
2

=

|bn − an |
2

Obs: El teorema anterior muestra la convergencia del m´etodo de la Bisecci´on y una cota
para el error de aproximaci´on, con lo cu´al podemos detreminar dado un εerror el n´
umero
de iteraciones del m´etodo, esto es:
|pn − p| ≤
b−a
2n

< ε / log ⇔ log

b−a
2n

b−a
2n

<ε

< log (ε ) ⇔ log (b − a) − n log (2) < log (ε )
b−a

log
ε


⇔ log (b − a) − n log (2) < log (ε ) ⇔ n >

log(b−a)−log(ε )
log(2)

⇔n>

log(2)



.

Ejercicio: Usemos el ejemplo motivacional del ´area para aplicar el m´etodo. Debemos
determinar dos ra´ıces de la ecuaci´on h(x) = 0,...