Clasificación de las súper álgebras de lie de dimensión baja.

CLASIFICACIÓN DE LAS SÚPER ÁLGEBRAS DE LIE DE DIMENSIÓN BAJA.
Vázquez Arce, A.; Salgado González, G.; Leyva Domínguez, J. L.
Universidad Juárez del Estado de Durango; Universidad Autónoma de San Luis Potosí; Universidad de Sonora.

RESUMEN
En este trabajo se clasifican las álgebras de Lie de dimensión dos y se clasifican las súper álgebras de Lie de dimensión (2,2) que se pueden construir apartir de ellas, suponiendo que el modulo impar es igual a el álgebra de Lie y suponiendo que la acción esta dada por la representación adjunta.

1. ÁLGEBRAS DE LIE DE DIMENSIÓN DOS.
Denotaremos por F al campo de los números reales R o al campo de los números complejos C. Sólo cuando sea necesario haremos la distinción correspondiente.
Definición Sea [pic] un F espacio vectorial, diremos que[pic] admite una estructura de álgebra de Lie, si [pic] admite una función bilineal, la cual llamaremos corchete de Lie y denotada por [,]:[pic] tal que satisface:
1) [pic]
2) [pic], (Identidad de Jacobí)
para todos [pic].
Un álgebra de Lie es un espacio vectorial que admite una estructura de álgebra de Lie.
Notas: 1) La ecuación 1) de la definición anterior es equivalente a pedir que [pic]para todo [pic]. 2) Claramente [pic] para todos [pic], define una estructura de álgebra de Lie en [pic]. Por lo que todo espacio vectorial admite al menos una estructura de álgebra de Lie.
Ejemplos:
1) [pic]. Sea [pic] un espacio vectorial sobre F. [pic](V) podemos definir un corchete de Lie mediante: [pic]
Es fácil verificar que, [pic] con esta operación, es un álgebra de Lie.
2)Sea [pic] un F espacio vectorial de dimensión 2. Sea [pic] una base de [pic]. Definamos los corchetes de Lie en los básicos como:
[pic], [pic]
Es fácil verificar que con esta definición obtenemos una álgebra de Lie a la cual denotaremos por [pic]
Definición Sean [pic] y [pic] dos álgebras de Lie: [pic] es un morfismo de álgebra de Lie si:
1) [pic] es una transformaciónlineal.
2) [pic],
para todos [pic] . Las álgebras de Lie [pic] y [pic] son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas, o sea, un morfismo biyectivo.
Definición Sea [pic] una álgebra de Lie. Una representación de álgebras de Lie de [pic] en un espacio vectorial [pic], es un morfismo dado de esta manera, [pic].
La representación adjunta. Esta representación se asocia de manera natural a todaálgebra de Lie y es llamada representación adjunta
[pic]
[pic]

2. SÚPER ÁLGEBRAS DE LIE.
Definición Sea [pic] un grupo finito abeliano, una [pic]-graduación en un espacio vectorial [pic] es una descomposición del tipo [pic]. [pic] es un súper espacio vectorial si [pic] está Z₂-Graduado, es decir, [pic] Definimos la función paridad o grado de la siguiente forma:
[pic]
[pic]
[pic] es laparidad de [pic]. Si [pic] o [pic] entonces se dice que [pic] es un vector par o impar respectivamente. Un vector es homogéneo si es un vector par o impar.
Definición Sean [pic] y [pic] superespacios vectoriales, definimos:
[pic]‌
[pic]
Podemos afirmar que:
[pic]
Definición Una Súper álgebra de Lie es un súper espacio vectorial [pic] junto con una función bilineal: [pic] que satisface:
1)[pic]
2) [pic]
3) [pic]
para todos [pic] homogéneos.
Admitiremos sin demostración el siguiente teorema.
Teorema Solo existen (salvo isomorfismos) dos álgebras de Lie de dimensión 2, a saber,
1) La abeliana, definida por [pic]
2) La álgebra afin definida por [pic] y que corresponde a [pic].

2.1. ESTRUCTURA DE UNA SÚPER ÁLGEBRA DE LIE.
De la definición sea [pic]. Entonces [pic] satisface:1) [pic]
2) La identidad de Jacobí.
Esto dice que [pic] es álgebra de Lie.
También de la definición de súper álgebra de Lie obtenemos una representación de [pic]en [pic] definida de la siguiente forma:
[pic]
[pic]
para [pic], definimos [pic] como [pic], [pic] por definición es una función bilineal y simétrica que satisface:
1) [pic]
2) [pic]
Si empezamos ahora...