Codigos De La Geometria

Códigos de la geometría algebraica
Usaremos ahora los elementos de la teoría algebraica de curvas para enlazarla
con la teoría de códigos. La primera parte consistirá en reinterpretar
los códigos de Reed-Solomon en el contexto de curvas algebraicas, y después
veremos cómo se generalizan.
Cambiaremos ligeramente la notación, C será un código sobre el cuerpo
Fq. Notaremos por k la dimensióndel código, d la distancia mínima de
Hamming, y n la longitud. Denotaremos por X una curva proyectiva plana
no singular irreducible.
Códigos Reed-Solomon y curvas algebraicas
Recordemos brevemente los códigos de Reed-Solomon. Si denotamos
por Lk−1 el conjunto de polinomios f > Fq[X] de grado, a lo más k − 1,
entonces Lk−1 es un espacio vectorial sobre Fq. Denotemos por _1, . . . , _q−1los elementos de Fq salvo el cero. Entonces, el código de Reed-Solomon se
de_ne como
RS(k, q) = .. f(_1), . . . , f(_q−1). S f > Lk−1..
Vamos a reinterpretar esto en términos de curvas algebraicas. Consideremos
la curva X dada por la ecuación F(X0,X1,X2) = X0 = 0. Observemos
que X(Fq) es la recta del in_nito. Como se puede identi_car la recta del
in_nito con un espacio proyectivo dedimensión uno, podemos considerar
que los puntos de la curva son en realidad puntos de la recta proyectiva,
borrando la primera coordenada. Sea Pª = [0_ 1_ 0] _ [1_ 0] > X, y consideremos
el divisor D = (k − 1)Pª.
Para calcular L(D), observemos que f > L(D) sólo puede tener polos
en Pª, es decir, en X2 = 0. Por el Teorema de Riemann-Roch, como X es de
género 0 y D de grado k − 1, sabemos quedimL(D) = degD + 1 − g = k.
Así, la base más simple posible de L(D) es
L(D) = d 1
1
, X1
X2
, X2
1
X2
2
, . . . , Xk−1
1
Xk−1
2
i
Fq
.
Observemos que si llamamos t = X1~X2, se tiene que L(D) _ Lk−1.
Denotemos Pi = [0_ _i_ 1] _ [_i_ 1], donde F.q = {_1, . . . , _q−1}, como
antes. Ahora, podemos escribir
RS(k, q) = .. f(P1), . . . , f(Pq−1). S f > L(D)..
La idea de Goppa4 esgeneralizar esta situación. Sea X una curva y D 4 V. D. Goppa. Codes associated with
divisors. Problemy Peredachi Informatsii, 13
(1):33–39, 1977
36 curvas y codigos algebraicos
un divisor sobre X. Consideremos un conjunto de puntos Fq-racionales
distintos P = .P1, . . . , Pn. b X(Fq). Si suponemos que P 9 suppD = g,
entonces los puntos Pi no son polos de ningún f > L(D), y f(Pi) > Fq.De_nición 10. Con la notación anterior, se llama código algebraico geométrico
asociado a X, P y D el conjunto
C(X,P,D) = .. f(P1), . . . , f(Pn). S f > L(D). b (Fq)n.
Naturalmente, necesitamos algo más de información sobre las propiedades
del código algebraico geométrico que acabamos de de_nir. Lo hacemos
en forma de enunciado.
El código binario es el sistema de representación de textos,o procesadores de instrucciones de computadora utilizando el sistema binario (sistema numérico de dos dígitos, o bit: el "0" (cerrado) y el "1" (abierto)). En informática y telecomunicaciones, el código binario se utiliza con variados métodos de codificación de datos, tales como cadenas de caracteres, o cadenas de bits. Estos métodos pueden ser de ancho fijo o ancho variable. Por ejemplo en elcaso de un CD, las señales que reflejarán el "láser" que rebotará en el CD y será recepcionado por un sensor de distinta forma indicando así, si es un cero o un uno.
En un código binario de ancho fijo, cada letra, dígito, u otros símbolos, están representados por una cadena de bits de la misma longitud, como un número binario que, por lo general, aparece en las tablas en notación octal, decimal ohexadecimal.
Según Anton Glaser, en su History of Binary and other Nondecimal Numeration, comenta que los primeros códigos binarios se utilizaron en el año 1932: C.E. Wynn-Williams ("Scale of Two"), posteriormente en 1938: Atanasoff-Berry Computer, y en 1939: Stibitz ("excess three") el código en Complex Computer.
Es frecuente también ver la palabra bit referida bien a la ausencia de señal,...