Cohete

Cohete propulsado por agua
Fundamentos físicos
 
Se ha, estudiado el vaciado de un depósito, suponiendo que esté abierto por arriba.
Vamos a estudiar el vaciado de un depósito de agua que está cerrado por la parte superior mediante una tapa hermética y que contiene aire en su interior a una presión inicial dada.
Este ejemplo va a servir de introducción al estudio del cohete impulsado por agua,un problema interdisciplinar en el que intervienen, tres partes de la Física: Fluidos, Dinámica y Termodinámica.
A medida que se vacía el depósito, el volumen de aire aumenta y la presión disminuye. Supondremos que esta disminución de presión se realiza a temperatura constante, es decir, se trata de un proceso isotérmico.
 
Fundamentos físicos
En la figura se muestra un depósito que tiene unaaltura H y una sección S1, la sección del orificio de salida en el fondo del depósito es S2, la altura inicial de agua es h0, y la presión del aire en su interior p0.
Se abre la compuerta que cierra el orificio de salida del agua, y se mide la altura h de la columna de agua en función del tiempo t.
Para aplicar el teorema de Bernoulli comparamos dos puntos del fluido. El punto 1 en la interfaseaire-agua y el punto 2 en el orificio de salida.
Sea p1 la presión del aire en el interior del depósito, y v1 la velocidad del agua en el punto 1, y h la altura de agua en el depósito en el instante t. La presión p2 en el orificio de salida es la atmosférica pat y la velocidad del fluido es v2.

Tres son las ecuaciones que describen el comportamiento de este sistema físico
1. Ecuación de continuidadS1v1=S2v2
2. Ecuación de Bernoulli

3. Expansión isotérmica del gas
p0S1(H-h0)=p1S1(H-h)
 
Altura del fluido en equilibrio
La consecuencia más importante de estas ecuaciones es que el agua deja de salir por el orificio cuando v2 y por tanto v1 sean nulos.
La presión del aire en el interior del depósito será algo menor que la presión atmosférica. La diferencia será la presióncorrespondiente a la columna de agua de altura h.
De las ecuaciones de Bernoulli y de la transformación isoterma
p1+ gh=pat
p0 (H-h0)=p1 (H-h)
Obtenemos la ecuación de segundo grado en h

con dos raíces h1 y h2 . Los valores de las raíces no dependen del área de la sección del depósito S1, ni del orificio S2.
Ejemplo:
* Sea el radio del depósito r1=10 cm
* El radio del orificio r2=0.8 cm
* La alturadel depósito H=50 cm
* La altura inicial de agua en el depósito h0=40 cm
* Si la presión inicial de aire en el depósito es p0=4 atm
Tomando como presión atmosférica pat=101293 Pa, y la densidad del agua  =1000 kg/m3, y resolviendo la ecuación de segundo grado en h, calculamos la altura del agua en el depósito para la cual deja de salir agua por el orificio.
h1=0.09 m=9 cm, y h2=10.78 m quees mayor que H=0.5 m. Cuando la altura de agua en el depósito alcanza 9 cm deja de salir por el orificio. Calculamos la presión final del aire en el depósito
p1=(101293-1000)(9.8)(0.09)=100411 Pa
 
Variaci�n de la altura de agua en el dep�sito con el tiempo
Despejamos v1 en el sistema de tres ecuaciones

Para hallar como cambia la altura h del agua en el dep�sito con el tiempo, tenemos en cuentaque,

y se resuelve la integral definida

Dada la dificultad de obtener una expresi�n anal�tica sencilla del comportamiento de la altura h con el tiempo t, el programa interactivo realiza una integraci�n num�rica, resolviendo la ecuaci�n diferencial de primer orden por el m�todo de Runge-Kutta, hasta que se alcanza la altura de equilibrio o se agota el agua del dep�sito.
 
Caso particular: cuandola presi�n del aire es elevada.
Cuando la presi�n del aire en el interior del dep�sito es mucho mayor que la presi�n atmosf�rica, no se alcanza la altura de equilibrio, toda el agua sale del dep�sito. En este caso, se pueden simplificar bastante las ecuaciones, y se puede encontrar una soluci�n anal�tica, aunque tampoco es muy simple, pero al menos, nos sirve de ejercicio para practicar el...