CONDICIONES DE DIRICHLET
Páginas: 5 (1023 palabras)
Publicado: 17 de junio de 2015
CONDICIONES DE DIRICHLET
Las condiciones de dirichlet son las que garantizan la convergencia de las series y la transformada de fourier para una función periódica, las cuales pueden clasificarse en:
Condición débil de dirichlet
Para la serie de Fourier
Esta condición plantea que los coeficientes de la serie de fourier deben ser finitos. Esto se puede demostrar mediante la integral del valorabsoluto de la función a evaluar.
Para la transformada de Fourier
La transformada de fourier existirá si el valor absoluto de la integral es menor a infinito en todo momento.
Condiciones fuertes de Dirichlet
Para que las series y la transformada de fourier converjan es necesario que se cumplan las siguientes condiciones, junto con la condición débil de dirichlet.
1. La función f(t) en un periododebe tener un numero finito de máximos y mínimos.
2. La función f(t) en un periodo debe tener un numero finito de discontinuidades las cuales deben ser finitas.
Series de recorrido completo
Dado que sabemos que: ,
Podemos sustituir: y
Entonces podemos escribir:
Podemos observar que en sen(x) en el denominador nos tenemos entonces podemos multiplicar por y obtenemos:
Luego podemossacar factor común:
Podemos realizar una sustitución por medio de: y
Entonces podemos escribir:
Separamos en 2 sumatorias y nos queda:
Dado que
Podemos decir que:
y ,
Podemos decir que:
Luego podemos escribir como:
Por ultimo podemos juntar las sumatorias y obtenemos la serie de Fourier Compleja
Supongamos que la función f(t) dada esta definida solo en el intervalo finito detiempo 0
En la figura 4.17(a) y (b) se muestran las gráficas de una f(t) posible y su extensión periódica respectivamente.
Suponiendo que f(t) satisface las condiciones de Dirichlet en elintervalo 0
Definimos la función periódica por
Entonces en las figuras 4.18(a) y (b) se muestran las gráficas de f(t) y su extensión periódica representativamente. Como es una función periódica de periodo 4, tiene una expansión en serie de Fourier convergente. Tomando T= 4 en (4.11) y (4.12), los coeficientes de Fourierestán de terminados como:
Como = f(t) para 0 < t <4, se sigue que esta serie de Fourier es representativa de f(t) dentro de ese intervalo, así que:
Es importante apreciar que esta serie converge pata t solo dentro del intervalo 0 < t < 4. Para valores de t fuera del intervalo, converge a la función periódica extendida. De nuevo, la convergencia debe interpretarse en el sentido del teorema 4.2,así que en los puntos extremos t=0 y t=5 la serie no converge ai pero si el promedio de la discontinuidad en, a saher el valor 2
Forma compleja de la serie de Fourier
Veremos ahora otra forma de expresar la serie de Fourier utilizando la exponencial compleja.
Proposici´on 8.3 Sea La serie de Fourier puede escribirse como
Donde, para n ∈ Z, los coeficientes vienen dados por:
Además, si an y bn sonlos coeficientes de su serie de Fourier expresada en la forma 8.11, se verifican las relaciones
Ejemplo 8.10 Obtener la forma compleja de la serie de Fourier de la funci´on diente de sierra f(t) definida por
Otro fenómeno que se observa en los ejemplos, conocido como fenómeno de Gibs, es que cuando se trunca la serie, en los puntos de discontinuidad de la función aparecen unas oscilaciones....
Las condiciones de dirichlet son las que garantizan la convergencia de las series y la transformada de fourier para una función periódica, las cuales pueden clasificarse en:
Condición débil de dirichlet
Para la serie de Fourier
Esta condición plantea que los coeficientes de la serie de fourier deben ser finitos. Esto se puede demostrar mediante la integral del valorabsoluto de la función a evaluar.
Para la transformada de Fourier
La transformada de fourier existirá si el valor absoluto de la integral es menor a infinito en todo momento.
Condiciones fuertes de Dirichlet
Para que las series y la transformada de fourier converjan es necesario que se cumplan las siguientes condiciones, junto con la condición débil de dirichlet.
1. La función f(t) en un periododebe tener un numero finito de máximos y mínimos.
2. La función f(t) en un periodo debe tener un numero finito de discontinuidades las cuales deben ser finitas.
Series de recorrido completo
Dado que sabemos que: ,
Podemos sustituir: y
Entonces podemos escribir:
Podemos observar que en sen(x) en el denominador nos tenemos entonces podemos multiplicar por y obtenemos:
Luego podemossacar factor común:
Podemos realizar una sustitución por medio de: y
Entonces podemos escribir:
Separamos en 2 sumatorias y nos queda:
Dado que
Podemos decir que:
y ,
Podemos decir que:
Luego podemos escribir como:
Por ultimo podemos juntar las sumatorias y obtenemos la serie de Fourier Compleja
Supongamos que la función f(t) dada esta definida solo en el intervalo finito detiempo 0
En la figura 4.17(a) y (b) se muestran las gráficas de una f(t) posible y su extensión periódica respectivamente.
Suponiendo que f(t) satisface las condiciones de Dirichlet en elintervalo 0
Definimos la función periódica por
Entonces en las figuras 4.18(a) y (b) se muestran las gráficas de f(t) y su extensión periódica representativamente. Como es una función periódica de periodo 4, tiene una expansión en serie de Fourier convergente. Tomando T= 4 en (4.11) y (4.12), los coeficientes de Fourierestán de terminados como:
Como = f(t) para 0 < t <4, se sigue que esta serie de Fourier es representativa de f(t) dentro de ese intervalo, así que:
Es importante apreciar que esta serie converge pata t solo dentro del intervalo 0 < t < 4. Para valores de t fuera del intervalo, converge a la función periódica extendida. De nuevo, la convergencia debe interpretarse en el sentido del teorema 4.2,así que en los puntos extremos t=0 y t=5 la serie no converge ai pero si el promedio de la discontinuidad en, a saher el valor 2
Forma compleja de la serie de Fourier
Veremos ahora otra forma de expresar la serie de Fourier utilizando la exponencial compleja.
Proposici´on 8.3 Sea La serie de Fourier puede escribirse como
Donde, para n ∈ Z, los coeficientes vienen dados por:
Además, si an y bn sonlos coeficientes de su serie de Fourier expresada en la forma 8.11, se verifican las relaciones
Ejemplo 8.10 Obtener la forma compleja de la serie de Fourier de la funci´on diente de sierra f(t) definida por
Otro fenómeno que se observa en los ejemplos, conocido como fenómeno de Gibs, es que cuando se trunca la serie, en los puntos de discontinuidad de la función aparecen unas oscilaciones....
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