conjuntos numericos

N´meros reales
u

Conceptos b´sicos
a

Conjuntos num´ricos
e

En la presente secci´n se hace una revisi´n de los principales conjuntos n´mericos,
o
o
u
que se necesitan en un primer curso de Matem´tica de nivel universitario.
a

Conjunto de los n´meros naturales El conjunto de los n´meros naturales, N , es el
u
u
primer conjunto de n´meros conocido y estudiado:
u
N = {1, 2,3, 4, 5, 6, . . .}
Es un conjunto con un primer elemento, ordenado e infinito. Tambi´n se conoce
e
como el conjunto de los n´meros enteros positivos.
u
Claramente el resultado de sumar o multiplicar dos n´meros naturales, es un n´mero
u
u
natural. Esta situaci´n no se cumple para el caso de la sustracci´n ni de la divisi´n.
o
o
o
Al no ser la sustracci´n una operaci´n cerrada en N,ecuaciones del tipo x + 7 = 4 no
o
o
tienen soluci´n en este conjunto, debido a que no existe un n´mero natural que sumado
o
u
con 7 de como resultado el n´mero 4. Situaciones de este tipo, hacen necesario extender
u
el conjunto de los n´meros naturales al
u
Conjunto de los n´meros enteros
u
El conjunto de los n´meros enteros, Z, es:
u
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}En este nuevo conjunto, el problema reci´n planteado tiene soluci´n, ya que el n´mero
e
o
u
entero −3 es la soluci´n de la ecuaci´n x + 7 = 4.
o
o
En el conjunto de los n´meros enteros, existen algunos conceptos que es necesario
u
tener presente:
5

N´meros reales - Conceptos b´sicos
u
a

Conjuntos num´ricos 6
e

• Un n´mero entero a se dice factor o divisor de otro entero b,cuando existe un
u
entero c, tal que: b = a · c. Cuando esto sucede, tambi´n se dice que b es m´ltiplo
e
u
de a. Por ejemplo: 2 es un factor de 18 (o, 18 es m´ltiplo de 2), pu´s 18 = 2 · 9.
u
e
• Un n´mero entero p, distinto de 1, se dice primo, cuando sus unicos factores son
u
´
±1 y ±p. As´ por ejemplo, 2, −3, 5, −7 y 11 son n´meros primos; mientras que,
ı,
u
por ejemplo, 4, −6, 8,−10 y 1256 no son n´meros primos. Cuando un n´mero
u
u
entero no es primo, se dice compuesto.
• Un n´mero entero se dice par, cuando es divisible por 2. As´ por ejemplo, −6, 34
u
ı,
y 7772 son n´meros pares. Si un n´mero entero no es par se dice impar.
u
u
Observaciones:
– Si a es n´mero par, entonces existe un n ∈ Z tal que a = 2n.
u
– Si a es n´mero impar, entonces existe un n ∈ Z talque a = 2n + 1.
u
As´ como el sistema de n´meros naturales es insuficiente para resolver ciertos tipos
ı
u
de ecuaciones, tambi´n los n´meros enteros son insuficientes para resolver ecuaciones
e
u
del tipo ax = b con a y b enteros y a = 0. Es claro que esta ecuaci´n s´lo tiene soluci´n
o o
o
en Z, si b es m´ltiplo de a. Para que las ecuaciones de este tipo tengan siempre soluci´n,
u
ose hace necesario ampliar el sistema de los n´meros enteros al
u
Conjunto de los n´meros racionales
u
El conjunto de los n´meros racionales, Q, es:
u
Q = { a / con a y b enteros, b = 0}
b
Observaciones:
1. El conjunto de los n´meros racionales est´ constitu´ por todas las fracciones de
u
a
ıdo
enteros, con denominador distinto de 0.
2. Dos racionales

a
b

y

c
d

soniguales siempre y cuando a · d = b · c. Es decir,
c
a
=
b
d

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

⇐⇒

a·d=b·c
Universidad de Talca

N´meros reales - Conceptos b´sicos
u
a

Conjuntos num´ricos 7
e

3. Todo n´mero racional a se puede representar como un n´mero decimal finito o
u
u
b
infinito peri´dico. Ello se logra simplemente efectuando la divisi´n entre a y b.
o
o
Rec´ıprocamente, todo decimal finito o infinito peri´dico equivale a una fracci´n de
o
o
enteros.
4. De la observaci´n precedente, se tiene que los n´meros decimales infinitos no
o
u
peri´dicos, no son n´meros racionales.
o
u
Aunque en la pr´ctica siempre se trabaja con n´meros racionales o con su equivalente
a
u
decimal (redondeado convenientemente), hay un problema que no tiene soluci´n en...