construcción números reales

Sobre la Construcci´
on Axiom´
atica
de los N´
umeros Naturales

Dr. Rafael Labarca Briones
Profesor de Matem´aticas.
Universidad de Santiago de Chile.

Charla dictadas en las EMALCAS de
Arequipa, La Paz y Quito.
Cursillo dictado en el COMCA 2010.

1

Introducci´
on

Una de las cosas m´as antiguas que sabe hacer el hombre es contar. En sus inicios
contar estaba asociado acontar objetos: UN PALOTE, DOS PALOTES, TRES
PALOTES,......,DIEZ MILLONES DE PALOTES.
Entretanto, contar no es s´olo enumerar objetos. Tanmbi´en es combinar. Por
ejemplo: ¿ Cu´antos resultados posibles tiene un dado equilibrado?. Todos sabemos
que son seis y no es que lo estemos tirando para contar.
Otra manera menos evidente de contar. Si en un auditorio hay 100 personas,
con seguridad all´ıhabr´a P personas con P ≤ [100/7] = 14 personas que nacieron el
mismo d´ıa de la semana y Q personas con Q ≥ [100/7] que nacieron otro.
Asi que contar es algo m´as que enumerar objetos. Saber esto no es tan antiguo,
ni tan intuitivo.
De todas formas, una cosa que hacemos es contar, de diversas formas, y para
ello asociamos s´ımbolos a cantidades. Por ejemplo, todos sabemos que no es lo
mismoocho manzanas que ocho naranja o ocho sand´ıas. Pero, en com´
un tienen
que son ocho objetos. Deducimos que hay una cosa abstracta que se llama ocho.
Tambi´en hay otra cosa abstracta que se llama quinientos veinticinco mil billones,
novecientos treinta y seis millones veinte.
Concluimos que contar objetos es intuitivo pero asociar s´ımbolos a esta enumeraci´on no lo es.
Los matem´aticos, alo largo de los a˜
nos, han tenido varias formas de justificar
estos s´ımbolos y de convencer que representan lo que dicen que representan.
En este cursillo daremos una explicaci´on (plausible de dar en tres clases) de la
construcci´on axiom´atica de los n´
umeros naturales y de las operaciones elementales
entre n´
umeros. Este enfoque se deduce de los trabajos de Cantor, Frege y Russel,entre otros.
En nuestra exposici´on seguiremos, libremente, el texto Teor´ıa Intuitiva de
los Conjuntos de Paul Halmos.

2

La Construcci´
on de los N´
umeros Naturales

2.1

La Construcci´
on axiom´
atica

Desde fines del siglo XIX, los matem´aticos han coincidido en establecer una forma
de hacer matem´aticas que se reconoce como Axiom´atica. A saber: se parte de conceptosprimitivos, postulados o axiomas cuya validez se asume (no se demuestran),
se dan definiciones y se empieza a establecer proposiciones que mezclan axiomas
y definiciones. A estas proposiciones se les llama lemas, proposiciones, corolarios,
escolios, etc. Cuando alguna de ellas resulta central en el desarrollo de la teor´ıa, se
le llama Teorema. En lo que sigue haremos esto.

2.2

ConceptosPrimitivos y Axiomas B´
asicos

Tenemos que iniciar la teor´ıa con algo que sea f´acil y evidente de aceptar. ¿ Qu´e tal
con: existen conjuntos y los conjuntos tienen elementos ?
Conjunto denominar´a una colecci´on bien definida de objetos. Los conjuntos
tienen elementos.
Aqu´ı hay dos conceptos que llamaremos primitivos Conjuntos y elementos.
Entre conjuntos y elementos hay una relaci´on: la depertenencia. Los elementos pertenecen a los conjuntos. Los conjuntos se denotan por letras may´
usculas
A, B, C, ... y los elementos por letras min´
usculas x, y, z, .... La relaci´on de pertenencia se escribe x ∈ A para indicar que x es un elemento de A o que x pertenece a
A.
AXIOMA DE EXTENSION: Dos conjuntos son iguales si y solo si
tienen los mismos elementos.
Esto es: el conjunto A esigual al conjunto B si todo elemento de A es elemento
de B y si todo elemento de B es elemento de A.
En s´ımbolos:
A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A.
Por ejemplo A = { R´ıos de Am´erica} y B = { R´ıos de Chile}. Es claro que
B ⊂ A y que B ̸= A.

En este caso, y como B ⊂ A y B ̸= A, se dice que B es una especificaci´on de
A y se escribe B = {x ∈ A; x es r´ıo de Chile}
Esto nos lleva a nuestro...