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Sesion

5

M´todo de integraci´n por
e
o
fracciones parciales
Temas

Capacidades

Fracciones parciales.

Descomponer una fracci´n en suma
o
de fracciones parciales.

M´todo de integraci´n por fracciones
e
o
parciales.

Conocer y comprender el m´todo de
e
integraci´n por fracciones parciales.
o
Calcular integrales indefinidas que se
pueden obtener por fraccionesparciales.

5.1

Introducci´n
o
En esta sesi´n se tratar´ un m´todo
o
a
e
para calcular integrales de ciertas funciones
racionalesa , llamado m´todo de integraci´n
e
o
por fracciones parciales.
La t´cnica que se usa es descomponer una
e
fracci´n en fracciones m´s simples, llamadas
o
a
fracciones parciales, esta t´cnica fue dee
sarrollada por el matem´tico suizo John
a
Bernoulli(1667-1748).
a

Una funci´n se llama racional si ella es el cuoo
ciente de 2 polinomios con coeficientes reales.

31

Sesi´n 5
o

M´todo de integraci´n por fracciones parciales
e
o

Como se se˜al´ anteriormente, en esta sesi´n se trabajar´ con integrales de funciones
n o
o
a
racionales. Estas integrales son de la forma:
p(x)
dx
q(x)
donde p(x) y q(x) son polinomios concoeficientes reales.
Por ejemplo:
6x2 − 8x + 5
dx
x3 − 2x2 + x

x−4
dx
3 + x2 − 2x
x

x2 + 3x − 4
dx
x2 − 2x − 8

1
dx
3−1
x

Nota 5.1. Algunas integrales de funciones racionales no se pueden calcular con los
m´todos tratados anteriormente.
e
Para calcular integrales de ciertas funciones racionales, se usa el m´todo de las frace
ciones parciales, que consiste en descomponerpreviamente la fracci´n en suma de
o
fracciones parciales, y luego calcular la integral de cada sumando aplicando m´todos
e
ya tratados.

5.2

Descomposici´n en suma de fracciones parciales
o

5.2.1

Fracciones simples

Se llaman fracciones simples, aquellas que presentan una de las siguientes formas:
(1)

A
,
(ax + b)n

n∈N

Ax + B
+ bx + c)n

(2)

n∈N
b2 − 4ac < 0

(ax2En particular, son fracciones simples:
(a)

7
x−2

(b)

2x + 1
x2 + 2x + 3

(c)

2
(2x − 1)3

(d)

2
(x2 + 2)2

Nota 5.2. Las integrales de las fracciones simples se pueden determinar usando las
t´cnicas ya tratadas.
e
A
A
Por ejemplo:
dx = ln |ax + b| + C
ax + b
a

5.2.2

Descomposici´n en fracciones parciales
o

A continuaci´n se describir´ el proceso paradescomponer una fracci´n
o
a
o

p(x)
en suma
q(x)

de fracciones parciales.
Caso 1. Cuando grado(p(x)) < grado(q(x)), se procede como sigue:
Instituto de Matem´tica y F´
a
ısica

32

Universidad de Talca

Sesi´n 5
o

M´todo de integraci´n por fracciones parciales
e
o

• Factorizar el denominador q(x) sobre los reales.
Los factores de q(x) pueden ser:
Factores linealesrepetidos n veces:
(ax + b)n , n ∈ N
o
Factores cuadr´ticos repetidos m veces: (ax2 + bx + c)m , m ∈ N
a
donde b2 − 4ac < 0
• Por cada factor de q(x), de la forma (ax + b)n , la descomposici´n en fraco
ciones parciales debe incluir la suma de n fracciones simples del tipo (1):
A1
A2
An
+
+ ... +
2
ax + b (ax + b)
(ax + b)n
• Por cada factor de q(x), de la forma (ax2 + bx + c)m , ladescomposici´n en
o
fracciones parciales debe incluir la suma de m fracciones simples del tipo
(2):
A2 x + B2
Am x + Bm
A1 x + B1
+
+ ... +
2 + bx + c
2 + bx + c)2
ax
(ax
(ax2 + bx + c)m
Caso 2. Cuando grado(p(x))

grado(q(x)), se procede como sigue:

• Dividir el polinomio p(x) por el polinomio q(x), obteniendo un cuociente
c(x) y un resto r(x):
p(x) = q(x) · c(x) + r(x)donde r(x) = 0 o grado(r(x)) < grado(q(x)). Luego:
p(x)
r(x)
= c(x) +
q(x)
q(x)
• Si r(x) = 0, entonces, se aplica el proceso descrito en el Caso 1, a la
r(x)
fracci´n
o
.
q(x)
Ejemplo 5.1. Factores lineales diferentes
Descomponer la fracci´n
o

x3

x−4
en suma de fracciones parciales.
+ x2 − 2x

Soluci´n:
o
a) Factorizar el denominador: x3 + x2 − 2x = x(x − 1)(x + 2)...