Contamina Sonica

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Ciudad Ojeda; Mcpo Lagunillas, Edo Zulia



Alumnos:
Zoismel Petit C.I: 21.555.981 -50-
Evelyn Leal C.I: 17.332.085 -45-

Polinomios interpolantes

* Lorange: Dado un conjunto de K + 1 puntos

x0 , y0,…, (xk, yk)Donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal.
Lx= j=0kyj lj(x)
De bases polinómicas de Lagrange
ljx= i=0 , i≠jkx- xixj-xi=x- x0xj-x0… x-xj-1xj-xj-1

Ejemplo:
X0= -1.5 | f(x0) = -14.1014 |
X1= -0.75 | f(x1) = -0.931596 |
X2= 0 | f(x2) = 0 |
X3= 0.75 | f(x3) = 0.931596 |
X4=1.5 | f(x4) =14.1014 |

l0x= x- x1x0- x1 . x- x2 x0- x2. x- x3 x0-x3.x-x4x0-x4=

l1x= x- x0x1- x0 . x- x2 x1- x2. x- x3 x1-x3.x-x4x1-x4=

l2x= x- x0x2- x0 . x- x1 x2- x1. x- x3 x2-x3.x-x4x2-x4=

l3x= x- x0x3- x0 . x- x1 x3- x1. x- x2 x3-x2.x-x4x3-x4=

l4x= x- x0x4- x0 . x- x1 x4- x1. x- x2 x4-x2.x-x3x4-x3=

1243(fx0x4x-34x+3-8f(x1)
+fx2243-540x2+192x4-8f(x3)+fx4x2x+34x-3(4x+3)
= -1.47748x+4.83456x3

* Newton Gregory: Se dice que los datos estén uniformemente espaciados si = Δx es constante xi +1 – xi para i = 1,2.3, …. Para el caso particular de datos uniformemente espaciados, es posible encontrar una forma más sencilla del polinomio de Newton. Esta forma más sencilla se basa en diferencias que se definen de la siguiente manera.
Diferencia de orden 0:Δf= f (34)
Diferencia de orden 1:
Δf= f –f(35)
Diferencia de orden 2:
Δf= Δ(Δf) = Δ(f – f) = Δf – Δf= f – 2f + f(36)
Diferencia de orden 3:
Δ = Δ(Δ)= ΔΔ= 3f + 3f(37)
Diferencia de orden k:
K(k -1) k(k -1) (k-2)
El polinomio de newton Gregory de orden n tiene la siguiente forma general:
K(k – 1) k(k - 1)(k – 2)
Pn (xk +1) = f1 + KΔf1 + Δf1 +Δf1 +2! 3!
Se puede demostrar que elpolinomio Newton Gregory es el polinomio de interpolación evaluándolo para los valores:
Pn (x1) = f1 (40)
Pn (x2) = f1 + Δf1 = f1 + f2 – f1= f2(41)
Pn (x3) = f1 + Δf1 + Δf1(42)= +2(f) + (f2) = (43)
Pn (xk +1) = fk +1(44)

Ejemplo:
i | xi | Δ0 fi | Δ1 fi | Δ2 fi | Δ3 fi |
1 | 0.4 | 0.423 | 0.261 | 0.085 | 0.096 |
2 | 0.6 | 0.684 | 0.346 | 0.181 | |
3 | 0.8 | 1.030 | 0.527 | | |4 | 1.0 | 1.557 | | | |
i | xi | fi |
1 | 0,4 | 1.00 |
2 | 2,5 | 0.50 |
3 | 4,3 | 2.00 |
4 | 5,0 | 2.55 |
5 | 6,0 | 4.00 |

u=4
x= x- x1∆x= 0.73-0.40.2=1.65

f0.73= f1+s∆f1+s(s-1)2! ∆2f1+ ss-1(s-2)3! ∆3f1
f0,73= 0.423+1650.261+1.650.6520.085+ 1.650.65-0.356 0.096
f0.73= 0.893

* Hermite: La interpolación de hermite es similar a la de newton pero con el añadidode que ahora también conocemos los valores que toma la derivada la función f en las abscisas conocidas x0, x1,…, xm.
El polinomio interpolador de hermite de grado 2m + 1 de la función f es un polinomio de la forma

p2m+1x= i=0mfiΦix+i=0mf´i ψi(x)


Con:
ϕix=1-2l´ixix-xil2i (x)
ψix=x-xil2i x, i=0,…, m
La interpolación de Hermite puede extenderse al conocimiento de lasderivadas sucesivas de la función a interpolar en las abscisas tomadas, de modo que se puede obtener un polinomio cada vez más ajustado a la función real, ya que éste podrá cumplir otros requisitos como una determinada monotonía, concavidad, etc.
En este caso, estaremos hablando de interpolación de Hermite generalizada y su cálculo se llevará a cabo de forma similar a la apuntada, pero obteniendopolinomios de grado cada vez mayor debido a las sucesivas derivadas de los coeficientes li(x).
Notar, pues, que la interpolación de Lagrange puede considerarse como un caso particular de la interpolación de Hermite generalizada (el caso en el que “conocemos” cero derivadas de f).
Tal y como ocurría con la interpolación de Lagrange, para la interpolación de Hermite también disponemos una...