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DERIVADAS
Muchos de los jóvenes que en el Colegio estudiaron derivadas e integrales, nunca
terminaron de entender qué eran o para qué servían. Dichos ejercicios matemáticos se
resolvían casi siempre de manera metódica y a veces "de memoria", pero sin comprender
cuál era su función. Con el tiempo, poca gente recuerda el significado de dichas
operaciones matemáticas, seguramente, porque nuncallegaron a comprenderlo
completamente y también porque en la vida cotidiana no resulta tan necesario de
recordar como las simples sumas y multiplicaciones.
En realidad, no resulta extraño que se entiendan con dificultad, porque la mayoría de los
textos especializados están escritos por expertos matemáticos, cuyo lenguaje resulta
muy confuso para el público en general. Veamos cómo explica la"Wikipedia" lo que es
una derivada:
"En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la
que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable
independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se
calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función, en un cierto
intervalo…"
Este párrafo sigue resultando casiincomprensible para el profano en matemáticas, a
pesar de que la Wikipedia redacte sus artículos para lectores poco expertos. Por eso
vamos a proponer otra manera de explicarlo, huyendo de la "jerga" de los matemáticos y
empleando ejemplos muy sencillos. Una vez que consigamos entender qué son las
derivadas, estaremos en disposición de admirar la belleza de este maravilloso "invento"matemático, porque efectivamente, es una auténtica genialidad surgida de la mente de
sus creadores: Newton y Leibniz, entre otros.
EXPLICACIÓN SENCILLA DE DERIVADAS E INTEGRALES:
Si sólo nos interesa recordar muy superficialmente la noción de derivada e integral,
podríamos conformarnos con estas dos explicaciones básicas:
DERIVADA: Es la inclinación que tiene una curva, en un punto dado
INTEGRAL: Esla superficie que existe entre un tramo de una curva y la base de la misma
Gráficamente:
DERIVADA: Si marcamos un punto cualquiera en una
curva (punto A), se puede conocer el valor de su
derivada, calculando la inclinación que tiene la
tangente a dicha curva, que pasa por el punto "A".
Sólo hay que dividir su elevación vertical (v = 4),
entre su avance horizontal (h = 5).
En este caso, laderivada de la curva en el punto "A",
es v/h = 4/5 = 0.8
INTEGRAL: La "integral" de la curva, entre los puntos
"A" y "B", es la superficie que queda bajo la curva,
hasta el eje horizontal del gráfico (Superficie de la zona
azul "S")
Con estas explicaciones, ya es posible "hacerse una idea" de lo que son las derivadas y
las integrales, pero aún se puede profundizar un poco más paracomprender qué
fórmulas o métodos resultan idóneos para completar o precisar los cálculos necesarios.
Esto puede resultar útil para calcular, por ejemplo, inclinaciones de carreteras, superficies

de fincas, trazado de estructuras en ingeniería, o incluso, evolución de tendencias
económicas.
DERIVADAS
Podríamos decir que la "derivada" es una fórmula matemática que permite
calcular la inclinaciónde una curva en un punto de la misma.

La inclinación de una curva se puede calcular fácilmente con herramientas de dibujo.
Fijémonos en la curva punteada del siguiente dibujo (Curva "C"). Es una línea dibujada
en un diagrama muy popular, conocido como "sistema de coordenadas cartesianas",
donde el eje horizontal se llama "abscisa" y el eje vertical se llama "ordenada". Dibujar la
curva en unsistema cartesiano nos facilita calcular la posición exacta de cada punto de la
línea curva.

Imaginemos que nos interesa calcular la inclinación de la curva "C", en un punto
cualquiera de la misma, al que llamaremos punto "A". Comprobamos que se puede trazar
fácilmente (casi "a ojo"), una línea que roce la curva por el punto "A". Una línea así, que
sólo toca a la curva en un punto, se...