Control

Generalidades sobre sistemas lineales
El modelo lineal de una clase suficientemente
amplia de sistemas din´amicos controlados es
el representado por el conjunto de ecuaciones
diferenciales
˙ x = Ax+bu, y = cx
donde:
x es el vector de estados del sistema.
u es la entrada al sistema
y es la salida del sistema.
En general, suponemos que
x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R
2
El uso de transformadas deLaplace, bajo la suposici
´on de condiciones inicales nulas, permite
obtener relaciones entre las transformadas de
la variable de entrada, u(s), y la transformada
de la variable salida, y(s). Estas son de tipo
algebraico
sx(s) = Ax(s)+bu(s), y(s) = cx(s)
Eliminando x(s) tenemos
y(s) =
h
c(sI − A)−1b
i
u(s) = G(s)u(s)
Llamamos a la funci´on racional G(s), funci´on
de transferencia delsistema.
y(s)
u(s)
= G(s) = K
(s+z1)(s+z2) · · · (s+zm)
(s+p1)(s+p2) · · · (s+pn)
Las raices s = −pi y s = −zi reciben, respectivamente,
el nombre de polos y ceros del sistema.
3
Modelo compartamental de un sistema de
calentamiento
(normalizado)
Modelo Normalizado:
θ˙1 = θ2 − θ1
θ˙2 = θ1 − 2θ2 +θ3
θ˙3 = θ2 − 2θ3 +u
y = θ1
En este caso
A =


−1 1 0
1 −2 1
0 1 −2


,b =


0
0
1


, x =


θ1
θ2
θ3


c = [1 0 0]
4
Tomando transformadas de Laplace en el sistema
de ecuaciones diferenciales tenemos
sθ1(s) = θ2(s) − θ1(s)
sθ2(s) = θ1(s) − 2θ2(s)+θ3(s)
sθ3(s) = θ2(s) − 2θ3(s)+u(s)
y(s) = θ1(s)
Resolviendo
θ2(s) = (s+1)θ1(s)
θ3(s) = (s2 +3s+1)θ1(s)
u(s) = (s3 +5s2 +6s+1)θ1(s)
y(s)
u(s)
=
1
s3 +5s2 +6s+1
5
El modelolineal proviene, generalmente, del
proceso de linealizaci´on de sistemas no linales.
Estos se representan mediante un sistema de
ecuaciones diferenciales no lineales,
˙ x = f(x, u), y = h(x)
con x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R.
En un punto de equilibrio constante, x = x, se
cumple que
f(x, u) = 0 → u = u
y = h(x)
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Cualquier desviaci´on a partir de la condici´on de
equilibrio, con, xδ = x−x, uδ = u−u,satisface:
˙ xδ = f(xδ +x, uδ +u)
= f(x, u)+

∂f
∂x| x = x
u = u
!
xδ +

∂f
∂u| x = x
u = u
!
uδ
=

∂f
∂x| x = x
u = u
!
xδ +

∂f
∂u| x = x
u = u
!
uδ
De otra parte
y−y = h(x)−h(x) = h(x)+

∂h
∂x| x = x

xδ−h(x)
Es decir:
˙ xδ = Axδ +buδ, yδ = cxδ
A =

∂f
∂x

x = x
u = u
!
, b =

∂f
∂u

x = x
u = u
!
, c =

∂h
∂x

x = x
7
Ejemplo
Considere el control de la altura de un l´ıquido
en un tanque rectangular, de ´area A, alimentado
por un flujo variable de l´ıquido, representado
por la entrada u = q.
Una ley de balance volum´etrico, cuando el l´ıquido
tiene la altura x, arroja:
A
dx
dt
= u − c√x, y = x
En equilibrio: x = x, u = u = c√x
8
La linealizaci´on del sistema alrrededor del equilibrio
resulta en:˙ xδ = −

c
2A√x
!
xδ +
1
A
uδ, yδ = xδ
donde xδ = x − x, uδ = u − u = u − c√x.
yδ =
1/A 
s+ c
2A√x
uδ
Es evidente que regulando la variable incremental
yδ = xδ a cero, se logra regular la altura
x al valor de equilibrio x.
9
Modelo de un globo de aire caliente
T˙δ +

1
τ1
!
Tδ = qδ
τ2¨zδ + ˙ zδ = aTδ
yδ = zδ
donde:
Tδ es la desviaci´on de la temperatura porsobre
la de equilibrio (donde: fuerza ascensional=peso)
zδ es la altura del globo,
qδ es la desviaci´on de la rata de quemado de
combustible (control, uδ).
d
dt


Tδ
zδ
˙ zδ


=


− 1
τ1
0 0
0 0 1
a
τ2
0 − 1
τ2




Tδ
zδ
˙ zδ


+


1
0
0


uδ
y = [0 1 0][T zδ ˙ zδ]T
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Tomando transformadas de Laplace en el sistema
tenemos
(s+
1τ1
)Tδ(s) = qδ(s) = uδ(s)
(τ2s2 +s)zδ(s) = aTδ(s)
Resolviendo para zδ(s) tenemos:
zδ(s) =
aτ1
s(τ2s+1)(τ1s+1)
uδ(s)
G(s) =
yδ(s)
uδ(s)
=
aτ1
s(τ2s+1)(τ1s+1)
11
Controlabilidad
Una de las propiedades m´as importantes de los
sistemas lineales se refiere a la controlabilidad.
Un sistema es controlable si el valor del es-
tado puede transferirse, en un intervalo finito
de...