Convergencia y divergencia

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIRIQUÍ
CENTRO REGIONAL DE ORIENTE
ASIGNACIÓN N° 1
ANÁLISIS II

TEMA: SERIES
Nombre: Jorge Séptimo.
Cédula: 4 722 450

Resolver:
1) Estudiar la convergencia odivergencia de las siguientes series por el criterio de comparación:

* 11∙2+12∙3+13∙4+14∙5+…

Solución:
Sea:
an=11∙2+12∙3+13∙4+14∙5+…n=1∞1nn+1

Sea:
bn=n=1∞1n2

Luego: 0<an≤bncon n≥N

Sabemos que:

La serie bn=n=1∞1n2 Converge, esto implica la convergencia de an=n=1∞1nn+1

Según el criterio de comparación.

* n=1∞n5n2-4

Solución

Sea bn=n=1∞n5n2-4=15n-4 y sea an=n=1∞n5n2=n=1∞15n
Luego:
0<an≤bn

0<n5n2≤n5n2-4

0<15n≤15n-4
Sabemos que:
la n=1∞15n diverge esto implica la divergencia de n=1∞n5n2-4 según Criterio deComparación.

* n=1∞n2n(n+1)

Solución:

an=n=1∞n2n(n+1) y bn= n=1∞12n….. Criterio de Gauchy

0<an≤bn …………….Criterio de comparación

0<n2n(n+1)≤12n…. Sustituyendo valoresSegún el Criterio de Gauchy lan=1∞12n Converge esto implica la convergencia de lan=1∞n2n(n+1)
Según el criterio de comparación.

2) Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes seriespor el Criterio de comparación al límite.
* n=1∞1n2+19n

Solución:

Sabemos que la n=1∞1n diverge
Luego:

limn→∞1n2+19n1n

limn→∞1n2+19n* n1

limn→∞nn2+19n

limn→∞nnn2+19nnlimn→∞1n2n2+19nn2

limn→∞11+19n
limn→∞11+0

limn→∞11=1

Como el limn→∞0<1<∞, entonces ambas series convergen o ambas series divergen. Como

Como la n=1∞1n diverge entonces lan=1∞1n2+19n diverge.

3) Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series por el criterio D’Alembert o de la Razón o Cociente.
* n=1∞2nn!

Solución:

limn→∞2n+1n+1!2nn!limn→∞2n2n+1! *n!2n

limn→∞2n+1! *n!1

limn→∞2n!n+1n!

limn→∞2n+1
Como el limn→∞2n+1=∞=0<1, por el criterio de la razón la n=1∞2nn! es convergente

4) Estudiar la convergencia o...