Convoluciones Discretas

Tema 3. Convoluciones continuas y discretas
Ejemplos de cálculo gráfico

Ingeniería de Telecomunicación
Universidad de Valladolid

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)

Sistemas Lineales

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Contenidos

1

Convoluciones discretas
Definición y Propiedades
Ejemplos

2

Convoluciones continuas
Definición y Propiedades
Ejemplos

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)Sistemas Lineales

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Convolución discreta. Definición y propiedades

Definición
y [n ] = x [n ] ∗ h [n ] =

∞
−∞

x [k ]h [n − k ]

Propiedades
Elemento neutro: x [n] ∗ δ [n] = x [n]

Conmutativa: x [n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x [n]

Asociativa:
x [n] ∗ (h1 [n] ∗ h2 [n]) = (x [n] ∗ h1 [n]) ∗ h2 [n] = (x [n] ∗ h2 [n]) ∗ h1 [n] = x [n] ∗ h1 [n] ∗ h2 [n]
Distributiva: x [n] ∗ (h1 [n]+ h2 [n]) = x [n] ∗ h1 [n] + x [n] ∗ h2 [n]

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)

Sistemas Lineales

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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x [n ] =

1
δ [n ]
2

y [n ] = x [n ] ∗ h [n ] =

+ 2δ [n − 1]

h[n] = u [n] − u [n − 3]

∞
k =−∞

x [k ]h [n − k ]

x [k ]
h [k ]

2
1

1
2

−2 −1

k

k
0

1

2

3

4

−2 −1

5

0

1

23

4

h [n − k ]

k
n−2
y [n ]
5
2

• n < 0 , y [n ] = 0
• n = 0, y [0] =

n
n−1

• n = 1, y [1] =
• n = 2, y [2] =

2

• n = 3, y [3] =
1
2

−2 −1

n
0

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)

1

2

3

4

∞
k=−∞
∞
k=−∞
∞
k=−∞
∞
k=−∞

x[k]h[0 − k] = x[0]h[0] =

1
2

x[k]h[1 − k] = x[0]h[1] + x[1]h[0] =

5
2

x[k]h[2 − k] = x[0]h[2] +x[1]h[1] =

5
2

x[k]h[3 − k] = x[1]h[2] = 2

• n > 3 , y [n ] = 0

5

Sistemas Lineales

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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2

∞

y [n ] = x [n ] ∗ h [ n ] =
n

x [k ]h [n − k ]

k =−∞

x [n ] = α u [n ],

α = β,

h [n ] = β n u [n ],

0 < α, β < 1.

∞

=

k

α u [ k ]β

n −k

u [n − k ] =

k =−∞

u [n − k ].

βk
···

1

n−k

h[k ]
αk

0

k

αβ

k =0

x[k]

−2 −1

∞

2

3

4

5

···

k
−1

6

0

1

2

3

4

5

6

k

7

h [n − k ]
β (n−k)
k

···

n
• n < 0, y [n] = 0

y [n ]

• n ≥ 0, y [n] =
y [n ] =

n
P

αk β n−k =

k=0

β n+1 −αn+1
β −α

β n+1 − αn+1
u [n ]
β−α

··· n
−2 −1

0

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)

1

2

3

45

6

7

8

Sistemas Lineales

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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x [n ] =

1,
0,

0≤n≤4
,
resto

h [n ] =

αn ,
0,

0≤n≤6
resto

y [n ] = x [n ] ∗ h [n ] =

∞
k =−∞

x [k ]h [n − k ]

x[k]
h [k ]
αk

1
k
−2 −1

0

1

2

3

4

k
−1

5

0

1

2

3

4

5

6

7

h [n − k ]
α(n−k)

• n < 0, y [n] = 0
nP n−k
n+1
α
= 1− α α
• 0 ≤ n ≤ 4, y [n] =
1−
(
k=0
4
P n−k
n− 4
n>4
−αn+1
α
= α 1− α
⇒ 4 < n ≤ 6, y [n] =
•
n−6≤0
k=0
(
4
P
n− 4
7
n−6>0
αn−k = α 1−−α
⇒ 6 < n ≤ 10, y [n] =
•
α
n−6≤4
k=n−6

k
n−6

n
y [n ]

• n − 6 > 4 ⇒ n > 10, y [n] = 0
n
−2 −1

0

1

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)

2

3

4

5

6

7

8

5

Sistemas Lineales7 / 15

Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4

∞

y [n ] = x [n ] ∗ h [n ] =

x [n] = 2n u [−n]

k =−∞

h [n ] = u [n ]

x [k ]h [n − k ]

h [k ]

x[k]
1

k

2

···

k

k

···
−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

h [n − k ]

−2 −1

3

0

1

2

3

4

5

1

···

k
n

0
y [n ]
2

• n < 0, y [n] =

1
1
16

1
8

1
4

···

12

···
−5 −4 −3 −2 −1

M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)

• n ≥ 0, y [n] =

n
P
k=−∞
0
P

2k = 2n+1
2k = 2

k=−∞

n
0

1

2

3

4

Sistemas Lineales

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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
1, 0 ≤ n ≤ 5
,
0, resto

x [n ] =

x [k ]

h [k ]

1

1

k
0

5

0

k
2

7

11

16

x [n − k ]

• n < 2 , y [n ] = 0
n

•...