Cordenadas en el espacio

Coordenadas en el espacio:
Un punto O es una base B=^{i,j,k} de los vectores libres del espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.
Ejemplo:
Se escribe S:{O;i,j,k}.
En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.
Vector de posición de P
Origen de coordenadas.
[OP]= x.i+y.j+z.k
(x,y,z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.Representación de puntos:
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

Signos
| Abscisa | Ordenada |
1er cuadrante | + | + |
2º cuadrante | − | + |
3er cuadrante | − | − |
4º cuadrante | + | − |

El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0).

Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen suabscisa igual a 0.

Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.

Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.

Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa.
Ejemplo:
Representa en los ejes de coordenadas los puntos:
A(1, 4), B(-3, 2), C(0, 5),D(-4, -4), E(-5, 0), F(4, -3), G(4, 0), H(0, -2)

Componente de un vector:
Componentes de un vector grafica y analíticamente. Con ejemplos.
Se llama componentes de un vector, situado ene un sistema de coordenadas, al punto que tiene como abcisas la diferencia de las abcisas y como ordenada la diferencia de las ordenadas de los puntos que conforman el extremo y el origen, en ese orden.
*analíticamente:
dados los puntos a (3,4) b (-2,3) c (-4,-3) y d (1,0). Determinar las componentes de cada uno delos siguientes vectores: a) ab b) bc c) cd.
a) ab a (3,4) b (-2,). b-a
Abcisas -2-3 = -5
Ordenadas 3-4 = -1

* Gráficamente:

Multiplicación de un escalar por un vector:
La multiplicación de un número k por un vector es otro vector:
Con igual dirección que el vector .Con el mismo sentido que el vector si k es positivo.
Con sentido contrario del vector si k es negativo.
De modulo
los componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por escalar.
Ejemplo:

Suma algebraica de vectores:
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes:

* Cuando se suman vectores, sus direcciones se deben tomar en cuenta.
* Las unidades debenser las mismas.

u – (u1, u2, u3) v – (v1, v2, v3)

u + v =(u1 + v1,u2,u3,+v3)
Ejemplo:

Dados u = (2, 1, 3), v = (1, −1, 0), w = (1, 2, 3), hallar el vector x = 2u + 3v − w.
x = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

Modulo o norma de un vector:
Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadaso componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Si tenemos las componentes de un vector:

Producto escalar de vectores por componentes:
Además de sumarse, dos vectores pueden también multiplicarse. La multiplicación da como resultado un número, no un vector, por lo que esta operación se denomina producto escalar. Al igual que la suma, también puederealizarse de forma matemática y de forma gráfica.

El producto escalar de u = <u1, u2, u3> y v = <v1, v2, v3> es
u . v = u1 . v1 + u2 + v2 u3 + v3
Propiedades
Conmutativa: r · v = v · r

Distributiva: r · ( v + u ) = r · v + r · u

Asociativa: (k · r ) · v = k · ( r · v ) = r · ( k · v ) siendo k escalar
Ejemplo:

Hallar el producto escalar de dos vectores cuyascoordenadas en una base ortonormal son: <1, 1/2, 3> y <4, −4, 1>.
<1, 1/2, 3> · <4, −4, 1> = <1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1> = <4 −2 + 3> = 5
Angulos que forman vectores:
El ángulo que forman dos vectores y viene dado por la expresión:

Ejemplo:

Vectores ortogonales o perpendiculares:
Un vector ortogonal debe cumplir que el producto punto debe ser igual a 0....