CORRELACIÓN Y REGRESIÓN 2

CORRELACIÓN Y REGRESIÓN

En el capítulo 13 se consideró el problema de la regresión, o estimación de una variable (la variable dependiente) a partir de una o más variables (las variables independientes). En este capítulo se hará referencia a un problema relacio- nado con el de la correlación o grado de relación entre las variables, en el que se busca determinar qué tan bien una ecuación lineal,o de otro tipo, describe o explica la relación entre las variables.
Si todos los valores de las variables satisfacen con exactitud una ecuación, se dice que las variables están en per- fecta correlación o que hay una correlación perfecta entre ellas. Así, las circunferencias C y los radios r de todos los círculos están perfectamente correlacionados, ya que C = 2πr. Cuando se lanzan 100 veces dosdados en forma simul- tánea entre los puntos que aparecen en cada uno de ellos no hay relación alguna (a menos que estén cargados); es decir, no están correlacionados. Sin embargo, variables como el peso y la estatura de una persona muestran cierta correla- ción.
Cuando intervienen sólo dos variables se habla de correlación simple y de regresión simple. Cuando intervienen más de dos variables, sehabla de correlación múltiple y de regresión múltiple. En este capítulo sólo se considerará la correlación simple. En el capítulo 15 se consideran la correlación y la regresión múltiples.

CORRELACIÓN LINEAL

Si X y Y son las dos variables en consideración, un diagrama de dispersión sirve para mostrar la localización de los puntos (X, Y) en un sistema de coordenadas rectangulares. Si en estediagrama de dispersión todos los puntos parecen encontrarse cerca de una línea recta, como en las figuras 14-1a) y 14-1b), a la correlación se le llama lineal. En estos casos, como se vio en el capítulo 13, una ecuación lineal es lo apropiado con el propósito de regresión (o estima- ción).
Si Y tiende a aumentar a medida que X aumenta, como en la figura 14-1a), se dice que la correlación es una corre-lación positiva o directa. Si Y tiende a disminuir a medida que X aumenta, como en la figura 14-1b), se dice que es una correlación negativa o inversa.
Si todos los puntos parecen encontrarse en una curva, esta correspondencia se llama no lineal, y según se vio en el capítulo 13, lo apropiado para la regresión es una ecuación no lineal. Es claro que la correlación no lineal puede ser algunasveces positiva y otras veces negativa.
Si no parece haber relación entre las variables, como en la figura 14-1c), se dice que no hay relación entre ellas (es decir, están descorrelacionadas).





MEDIDAS DE LA CORRELACIÓN

Mediante observación directa se puede determinar de manera cualitativa que también una recta o una curva describe la relación entre las variables. Por ejemplo, se ve que una línearecta es mucho más útil para describir la relación entre X y Y en el caso de los datos de la figura 14-1a) que en el caso de los datos de la figura 14-1b), debido a que en la figura 14-1a) hay menos dispersión con relación a la recta.
Para ocuparse de manera cuantitativa del problema de la dispersión de los datos muestrales respecto a una línea o a una curva, es necesario encontrar una medida dela correlación.



LAS RECTAS DE REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS

Primero se considerará el problema de qué tan bien una línea recta explica la relación entre dos variables. Para esto, se necesitarán las ecuaciones de las rectas de regresión por mínimos cuadrados obtenidas en el capítulo 13. Como se ha visto, la recta de regresión por mínimos cuadrados de Y sobre X es
(1)
donde a0 ya1 se obtienen de las ecuaciones normales
(2)
Que dan
(3)
De igual manera ,la recta de regresión X sobre Y es
(4)
donde b0 y b1 se obtienen de las ecuaciones normales
(5)
Que dan
(6)
Las ecuaciones (1) y (4) pueden expresarse, respectivamente, como
(7)
Donde
Las ecuaciones de regresión son idénticas si y sólo si todos los puntos del diagrama de dispersión se encuentran en una recta. En tales...