cosas cosas

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC
.

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

Ejercicios Resueltos

1

Cálculo de integrales dobles en coordenadas
rectángulares cartesianas

1.1

Problema

Calcular

ZZ

p

x + ydxdy si D es la región acotada por las respectivas rectas

D

y =x; y = x y x = 1
Solución
Se tiene que la región D = (x; y ) 2 IR2 = 0
ZZ

p

x + ydxdy

Z

=

D

2
3

=

2
3

=

0

Z
Z

Z

x

p

=

1; x

x

x + ydydx

1

3 =2

(x + y )
0
1

y

x

3=2

(2x )

x
x

dx

dx

0

25=2 2
5=2
(x )
35
p
82
15

=

1.2

1

x

1
0

Problema

Calcular

ZZ

D

p
x2

y 2 dxdy siD es el dominio limitado por el triángulo de

vértices A (0; 0) ; B (1; 1); C (1; 1) :
Solución
Entonces se tiene que el dominio está delimitado por las rectas y = x;
y = x y x = 1:
Luego el dominio de integración es:
D = (x; y ) 2 IR2 = 0
:
Integrando a franjas verticales, resulta
1

x

1; x

y

x

ZZ

D

p
x2

y 2 dxdy

Z

Z

p
x2
x
0
Z 1Z x r
x1
=
=1

x

y 2 dydx
y
x

x

0

2

dydx

y
Hacemos el cambio de variables = sent =) dy = x cos tdt y
x
determinemos los limites.
x
= arcsen (1) = :
Para y = x =) arcsen
x
2
x
Para y = x =) arcsen
= arcsen ( 1) =
x
2
Por tanto
Z

1
0

Z

x

r

x1
x

y
x

2

dydx =
=
=
=
=
=

1.3

Z

Z
Z
Z
2

1
0
1
0
1
0

Z

2

2

Z

2

p1

sen2 tdtdx

x2 cos2 tdtdx
2

Z

2

x2 (
2

1

1 + cos 2t
)dtdx
2

sen2t
t
+
2
4

x2
0

Z

x2

2

dx
2

1

x2 dx
0

x3
23

1

=
0

6

Problema

Calcular

ZZ

y
D

2x2 dxdy si D es la región acotada por jxj + jy j = 2

Solución
Se tiene que la región D = (x; y ) 2 IR2 = jxj + jy j 2
Si escogemos la región con una partición de tipoI, es necesario utilizar dos
integrales iterativas porque para 2 x 0 , la frontera inferior de la región es
la grá…ca de y = x 2, y la superior es y = x + 2;y para 0 x 2 la frontera
inferior de la región es la grá…ca de y = x 2, y la superior es y = x + 2
Entonces se tiene D = D1 [ D2 tal que D1 [ D2 = :
donde D1 = (x; y ) 2 IR2 =
2 x 0;
x 2 y x+2
D2 = (x; y ) 2 IR2 = 0 < x 2; x 2 y
x+22

Por otra parte la funcion del integrando f (x; y ) = y 2x2 es simétrica con
respecto al eje y, es decir 8 (x; y; z ) 2 D existe ( x; y; z ) tal que f ( x; y ) =
y 2( x)2 = f (x; y ) :
Por lo tanto
ZZ

y

2

2x

dxdy

=

D

=
=
=
=

1.4

2
2
2

Z

Z
Z

2
0
2

Z

0
1

x+2

2x2 dydx

y
x2

x+2

y2
+ 2x2 y
2

4x3

dx
x2

8x2 dx

083
x
3
64
2 16
3

2

x4

0

=

32
3

Problema

Calcular

ZZ

D

x2 + y 2 dxdy si D = (x; y ) 2 IR2 = x2 + y 2

1 :Usando

coordenadas cartesianas
Solución.
Usando coordenadas cartesianas, la región de integración es un círculo
centrado en el origen de radio uno
Por lo tanto
p
p
D = (x; y ) 2 IR2 =
1 x 1;
1 x2 y
1 x2
ZZ

2

x +y

2

dxdy

Z

=D

Z

1
1

Z

p

1 x2

p

(x2 + y 2 )dydx
1 x2

1

p

1 x2

y3
=
(x y + ) p
dx
3
1
1 x2
Z1
p
1p
=2
(x2 1 x2 +
(1 x2 )3 )dx
3
1
Z1
Z
p
2 1p
=2
x2 1 x2 dx +
(1 x2 )3 dx
3
1
1
2

Con ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:
Z

1

x2
1

p

1

x2 dx =
=

(

xp
1
4

1p
x2 + (x 1
8

1
(arcsen(1)
8
3

1

x2 +arcsenx)
1

1
arcsen ( 1) = ( + ) =
82
2
8

Z

1
1

p
(1

x2 )3 dx =

(

xp
(1
4

x2 )3 +

3
8

=

3x p
(1
8

3
x2 ) + arcsenx)
8

1
1

Por lo tanto:
ZZ

x2 + y 2 dxdy =
D

2
23
+
=
8
38
2

Notese que la solución del problema usando coordenadas cartesianas es
bastante compleja

1.5

Problema

Calcular
y

ZZ

xydxdy si D es la...