Cuádricas

CUÁDRICAS
Superficies
Definición: Una superficie en el espacio es el conjunto de puntos (x,y,z) que satisfacen una cierta ecuación
f(x,y,z) = 0. Por ejemplo, la ecuación cartesiana de un plano verifica

ax+by+cz+d=0. En este caso, las

variables x, y, z aparecen con potencia uno, es decir, linealmente. En las demás superficies que definiremos
en esta sección, las ecuaciones contienen términoscuadráticos, por eso se denominan superficies cuádricas.

Cilindros
Definición: Un cilindro es una superficie S tal que, para un apropiado sistema de coordenadas, consta de
todas las rectas perpendiculares al plano z = 0, que pasan por una curva
caso, esa curva es una cónica. Obtenemos entonces:
(1) Cilindro elíptico:

x2 y2

1
a2 b2

(2) Cilindro hiperbólico:
(3) Cilindro parabólico:

con

x2 y2
1
a2 b2
4py  x 2

con

ab 0

con

a0;b0

p0



en dicho plano. En nuestro

Conos
Definición: Un cono es una superficie que en un sistema de coordenadas adecuado tienen ecuación:
(4)

x 2 y2
  z2  0 con
a2 b2

ab 0

Si a = b, el cono se dice circular y se obtiene por
rotación alrededor del eje z de una recta que pasa por
el origen. Si a  b , el cono se dice elíptico.

ElipsoideDefinición: Un elipsoide es una superficie que en un sistema de coordenadas adecuado tiene ecuación:
(5)

x 2 y 2 z2
   1 con
a2 b2 c2

Si a = b = c, se obtiene la ecuación de una esfera de radio a.

2

abc 0

Hiperboloides
Definición: Los hiperboloides son superficies que en un sistema de coordenadas adecuado poseen ecuación:
(6) 
(7)

x2 y2 z2
   1 con
a2 b2 c2

x 2 y 2 z2
   1 con
a2b2 c2

ab0 , c 0
ab0 , c 0

Hiperboloide de dos hojas
Hiperboloide de una hoja

Paraboloides
Definición: Los paraboloides son superficies que en un sistema de coordenadas adecuado poseen ecuación:
(8) z 
(9) z 

x2 y2
con

a2 b2

x2 y2

a2 b2

con

ab0

a0,b0

3

Paraboloide elíptico
Paraboloide hiperbólico

Clasificación de cuádricas
Las ecuaciones de (1) a (9) se denominanecuaciones normales o canónicas de las cuádricas. Las mismas
pueden clasificarse en dos grupos:

Tipo I: Cuádricas con centro. Son simétricas con respecto al origen de coordenadas. En este grupo
ubicamos las cuádricas: (1), (2), (4) (5), (6) y (7)
En un sistema de coordenadas adecuado tienen ecuación:
f(x, y, z)  Ax 2  By 2  Cz2  D  0

con A, B y C no simultáneamente nulos

Tipo II: Cuádricas sincentro. No son simétricas respecto al origen de coordenadas. En este grupo
ubicamos las cuádricas: (3), (8) y (9)
En un sistema de coordenadas adecuado tienen ecuación:
f(x, y, z )  Ax 2  By 2  Cz  0

con C  0 , A y B no simultáneamente nulos

Reducción de una cuádrica a la forma canónica
Consideremos la ecuación:
f(x, y, z)  a11x2  a22 y2  a33z2  2a12xy  2a13xz  2a23yz  a1x  a2 y  a3z k  0

Veremos que con un cambio adecuado de coordenadas obtenemos la ecuación canónica de una cuádrica del
tipo I o del tipo II, o una cuádrica de las llamadas degeneradas (un lugar vacío, un punto, una recta, un
plano, dos planos paralelos o dos planos que cortan)

A f(x, y, z)  0

asociamos la transformación lineal simétrica

T :R  R
3

3

tal que  T C

 a11

  a12
a
 13

a12
a22a23

a13 

a23  ,
a33 

de una manera análoga a la utilizada para cónicas, entonces f(x, y, z)  0 se expresa en forma matricial:

 a11
 x y z   a12
a
 13

a12
a22
a23

a13  x 
 
a23  y    a1

a33 
 z 

4

a2

x
 
a3   y   k  0
z
 

Como T es una transformación lineal simétrica existe una base ortonormal B formada por autovectores de T,
tal que:

 T B

1

 0
0


0
2
0

0

0  . B es ortonormal y determina un sistema de coordenadas en el cual la
 3 

ecuación de f(x, y, z)  0 es:

 1
 x´ y´ z´  0
0


0
2
0

0  x´ 
 
0  y´    a1

 3 
 z´ 

a2

 x´ 
 
a3  P  y´   k  0
 z´ 
 

donde la matriz P es la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz  T C . Es decir, es la matriz cuyas...