Cualquiera

INDICE

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior -----------------------------------2
Ecuaciones diferenciales --------------------------------------------------------3
Ecuaciones lineales ----------------------------------------------------------------------------7
Problemas de valor inicial--------------------------------------------------------------------12
Problema de valorde frontera --------------------------------------------------------------16
Dependencia e independencia lineal------------------------------------------------------18

Sistema de ecuaciones lineales-----------------------------------------------------------18

Métodos de los coeficientes-----------------------------------------------------------------20

Variación porparámetro----------------------------------------------------------------------20

Bibliografía---------------------------------------------------------------------------------------25

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva,las ecuaciones diferenciales se dividen en:
• Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
• Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
• [pic]es una ecuación diferencial ordinaria, donde [pic]es la variabledependiente, [pic]la variable independiente e [pic]es la derivada de [pic]con respecto a [pic].
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el moldeamiento de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
• En dinámica estructural,la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:
[pic]
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo.Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
• La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
[pic]
ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuacióncontiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias. La intención de este análisis no es una disertación sobre el tema sino bien servir de introducción a esta área tan vasta y a lavez tan importante de las matemáticas.
ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES
Una ecuación en la que aparecen x, y, y’ y,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:
ORDEN 1: Y´=2x
ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y=0
ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex
ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx
Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial
Y´ = 6x 2 - 5
Tiene solución
F (x) = 2x3 - 5x + C
Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a...