Cuerpo Matematicas

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Cuerpo (matemáticas)
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Para otros usos de este término, véase Cuerpo.
En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existenciade un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.
Los cuerpos son objetos importantes de estudio en álgebra puesto que proporcionan la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntosde números racionales, de los números reales, o de los números complejos. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.
El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas pormatrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia lasrelaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.
Contenido  [ocultar]  * 1 Definición * 2 Ejemplos de cuerpos * 2.1 Racionales y algebraicos * 2.2 Números reales, complejos y p-ádicos * 2.3 Cuerpos finitos* 2.4 Cuerpos de funciones * 2.5 Ultrafiltros * 2.6 Subcuerpos * 3 Algunos teoremas iniciales * 4 Construcciones de cuerpos * 4.1 Subcuerpos e ideales * 4.2 Cuerpo de fracciones * 4.3 Extensión de cuerpos * 5 Véase también * 6 Enlaces externos |
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[editar]Definición
Un cuerpo es un anillo dedivisión conmutativo, es decir, un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjunto K en el que se han definido dos operaciones, + y ·, llamadas suma ymultiplicación respectivamente, que cumplen las siguientes propiedades:
K es cerrado para la suma y la multiplicación
Para todo a, b en K, a + b y a * b pertenecena K (o más formalmente, + y * son operaciones matemáticas en K);
Asociatividad de la suma y la multiplicación
Para toda a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c y a * (b * c) = (a * b) * c.
Conmutatividad de la suma y la multiplicación
Para toda a, b en K, a + b = b + a y a * b = b * a.
Existencia de un elemento neutro para la suma y la multiplicación
Existe un elemento 0 en K, tal que paratodo a en K, a + 0 = a.
Existe un elemento 1 en K diferente a 0, tal que para todo a en K, a * 1 = a.
Existencia de elemento opuesto y de inversos:
Para cada a en K, existe un elemento -a en K, tal que a + (- a) = 0.
Para cada a ≠ 0 en K, existe un elemento a -1 en K, tal que a * a-1 = 1.
Distributividad de la multiplicación respecto de la suma
Para toda a, b, c, en K, a * (b + c) =(a * b) + (a * c).
El requisito a ≠ 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0, lo que lo convierte también en un dominio de integridad. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (K, +) y (K - { 0 }, *) son grupos conmutativos y que por lo tanto (véase la teoríade grupos) el opuesto -a y el inversoa-1 son determinados únicamente por a. Además, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos:
(a*b)-1 = a-1 * b-1
con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen
-a = (-1) * a
y más generalmente
- (a * b) = (-a) * b = a * (-b)
así como
a * 0 = 0,
todas reglas familiares de la aritmética elemental....