curvas de jordan

Acerca del interior de un pol´
ıgono
Mario Ponce
PUC-Chile
9 de marzo de 2011
Resumen
En esta nota proponemos una demostraci´n elemental del Teorema de la
o
curva de Jordan para pol´
ıgonos, justificando as´ la existencia del interior de
ı
un pol´
ıgono.

Un pol´
ıgono cerrado simple es un camino continuo γ : [0, 1] → R2 verificando
i) Cerrado.
ii) Simple.

γ (0) = γ (1).
Si γ(x) = γ (y ) entonces x = y o bien {x, y } = {0, 1}.

Esta segunda propiedad debe entenderse como que el camino γ no se corta a si
mismo, salvo al momento de cerrarse. Una curva verificando (i) y (ii) es llamada
una curva de Jordan. Un pol´
ıgono cerrado simple es entonces una curva de Jordan
que verifica una propiedad adicional
iii) Poligonal. Existe una partici´n x0 = 0 < x1 < x2 < . . . valo [0, 1] de manera tal que la restricci´n de γ a cualquier subintervalo [xj , xj +1 ] es
o
una funci´n af´
o
ın.
En otras palabras, γ es una concatenaci´n continua y cerrada de una cantidad
o
finita de segmentos de recta que no se cortan.
A los segmentos γ [xj ,xj+1 ] se les llama lados del pol´gono y a los puntos γ (xj ) se les
ı
llama v´rtices del pol´gono. Porconveniencia asumiremos que la partici´n x0 , . . . , xn
e
ı
o
es minimal en el sentido que en cada v´rtice existe efectivamente una discontinuidad
e
en la direcci´n de la funci´n af´ (un quiebre). De esta manera el n´mero de v´rtices
o
o
ın
u
e
(y de lados) es una cantidad bien definida (igual a n). En lo que sigue, denotaremos
los v´rtices por vj = γ (xj ) y escribiremos pol´
e
ıgonoen lugar de pol´
ıgono cerrado
simple.

1

En general, los pol´
ıgonos son los primeros objetos geom´tricos a los que se ve exe
puesto un estudiante. Muchos conceptos geom´tricos se encuentran ya en los pol´
e
ıgonos: angulos, per´
´
ımetro, area, etc. Se puede ir a´n m´s lejos y plantear resultados
´
u
a
generales acerca de los pol´
ıgono tales como:
Proposici´n 1
o
1. La sumade los ´ngulos exteriores de un pol´gono es 360 grados.
a
ı
2. La suma de los ´ngulos interiores de un pol´gono de n lados es 180(n − 2)
a
ı
grados.
Otro resultado m´s complejo, pero ampliamente aceptado es
a
Proposici´n 2 Todo pol´gono puede subdividirse, por medio de diagonales interioo
ı
res, en un n´mero finito de tri´ngulos.
u
a
La proposici´n anterior es la clave para lademostraci´n de resultados mucho m´s
o
o
a
sofisticados como
Teorema 3 (de equidescomposici´n de Bolyai-Gerwie) Dados dos pol´gonos
o
ı
de igual ´rea, es posible cortar uno de ellos a trav´s de cortes rectos de manera tal
a
e
que con las piezas as´ obtenidas se pueda formar (sin sobras ni traslapes) el otro
ı
pol´
ıgono.
Teorema 4 (de Pick) Considere un pol´gono γ trazado sobre el plano R2, en donı
de se han marcado los puntos con coordenadas enteras Z2 . Si todos los v´rtices de γ
e
tienen coordenadas enteras, entonces el ´rea de γ viene dada por la f´rmula
a
o
A(γ ) = I +

B
− 1,
2

en donde I es el n´mero de puntos con coordenadas enteras en el interior de γ y B
u
es el n´mero de puntos con coordenadas enteras en γ (en el borde de γ ).
u
El objetivo de esta notano es demostrar estos resultados, si no que llamar la atenci´n en que ´stos, as´ como muchos otros, presuponen la existencia de dos objetos
o
e
ı
fundamentales acerca de los pol´
ıgonos: el interior de un pol´
ıgono y una diagonal
interior. La existencia de estos objetos es intuitiva, sin embargo, una demostraci´n
o
rigurosa requiere de argumentos no triviales, y merece por lo tanto ladedicaci´n de
o
este trabajo. El interior de un pol´
ıgono es aquella regi´n delimitada por el pol´
o
ıgono.
Definida de una manera m´s precisa, una regi´n Ω es un sub-conjunto abierto del
a
o
plano R2 , que es conexo, esto es, dado cualquier par de puntos x, y ∈ Ω existe un
camino continuo η enteramente contenido en Ω, que une x con y . El siguiente es el
teorema que nos asegura la...

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