Curvas

Geometr´ Diferencial ıa Gu´ 4: Curvas en el espacio. ıa 1. Obtenga una curva regular en R3 cuyo trazo coincida con la intersecci´n del o cilindro C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1} con el plano x + 2y + z = 1. 2. Sea α : I → R3 una curva regular. Pruebe que |α (t)| es constante si y s´lo si o para todo t ∈ I, α (t) es ortogonal a α (t). 3. Considere la curva regular α(t) = (2t, t2 , ln t) para t∈ (0, ∞). Obtenga la funci´n longitud de arco a partir de t = 1. Verifique que los puntos (2, 1, 0) y o (4, 4, ln 2) pertenezcan al trazo de α y calcule la longitud de arco de α entre estos dos puntos. 4. Reparametrice las siguientes curvas y obtenga el triedro de Frenet, la curvatura y torsi´n en cada punto: o a) α(t) = (4 cos t, 5 − 5 sin t, −3 cos t), t ∈ R b) β(t) = (1 − cos√ sin t, t), t ∈ Rt, t −t c) γ(t) = (e , e , 2t), t ∈ R 5. Obtenga una curva parametrizada cuyo trazo est´ en la intersecci´n del plano a o XY con el plano normal a la curva α(t) = (cos t, sin t, t) en t = π/2. 6. Sea α : I → R3 una curva regular parametrizada por longitud de arco, tal que o k(s) > 0 para todo s ∈ I. Obtenga α (s) como combinaci´n lineal del triedro de Frenet. 7. Obtenga el plano osculador de lacurva α = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 ) en t = 1. 8. Encuentre los puntos de la curva (t4 /4, t3 /3, t2 /2) en los cuales la tangente es paralela al plano x + 3y + 2z = 0. 9. Calcule el radio de curvatura (i.e.1/k(s)) y torsi´n de las siguientes curvas: o 2 2 3 a) (a(3t − t ), 3at , a(3t + t )) b) (t, t2 /(2a), t3 /(6a2 )) 10. Calcule la curvatura de (et cos t, et sin t, et ). 11. Dmostrar que la curvaα : (0, π/2) → R3 dada por t → (2 cos2 t, sin 2t, 2 cos t) es la parametrizaci´n regular de un arco contenido en una esfera y encontrar o el centro y radio de ´sta. e 12. Considere el conjunto X = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − x + z = x3 − y 3 + z 3 = 0}. Demuestre que existe un abierto U en torno a P = (1, 1, 0) de modo que la intersecci´n C = X ∩U es un arco de curva regular. Calcule el vectortangente, o la curvatura y torsi´n de C en p. o o o 13. Sea Ta la traslaci´n en a y G una transformaci´n ortogonal, verifique que G ◦ Ta = TG(a) ◦ G. e 14. Pruebe que toda isometr´ F de R3 posee una inversa F −1 que tambi´n es ıa isometr´ Si F = Ta ◦ G, describa F −1 . ıa. 15. Verifique si las siguientes funciones son isomtr´ en caso afirmativo descomp´ngoıas, o las en una traslaci´n y una transformaci´nortogonal. Determine si revierte o o o preserva orientaci´n: o a) F (x, y, z) = (−x, −y, −z) b) F (x, y, z) = (2 − y, z − 3, x + 1) √ 1 c) F (x, y, z) = √2 (x − z, 2y, x + z) d ) F (x, y, z) = ( 1 x − 2
√ 3 z, 2 2

− y, 7 + 1 z + 2

√

3 x) 2

2

16. Considere una isometr´ F = T ◦ G, Π un plano que pasa por p ∈ R3 y que es ıa ortogonal al vector v. Pruebe que F (Π) es un plano que pasapor F (p) y que es ortogonal al vector G(v). 17. Considere los puntos p √ (1, −2, 0) y q = (0, 0, 1), los sistemas de referen= √ √ √ cias {v1 = (1/ 2, 0, 1/ 2), v2 = (0, 1, 0), v3 = (1/ 2, 0, −1/ 2)} y {w1 = (2/3, 2/3, 1/3), w2 = (−2/3, 1/3, 2/3), w3 = (1/3, −2/3, 2/3)}. Obtenga la isometr´ F de R3 tal que F (p) = q y dFp (vi ) = wi . ıa 18. Verifique que toda traslaci´n preserva orientaci´n. o o 33 19. Sea F : R → R una aplicaci´n diferenciable tal que para todo p ∈ R3 dFp o preserva el producto interno. Demuestre que F es una isometr´ ıa. 3 3 3 20. Sean α, β : R → R curvas regulares y T : R → R transformaci´n ortogonal o que revierte orientaci´n tal que T ◦ α = β. Adem´s o a 1 Tα (0) = Bα (1) = Bβ (0) = (1, 2, 2) 3 1 Nα (0) = Tα (1) = Tβ (0) = (−2, 2, −1) 3 Calcule el triedro de Frenet{Tβ , Nβ , Bβ } de β en t = 1. √ √ Verifique si las curvas α(t) = (2 cos t, 2 sin t, 2t), t ∈ R y β(t) = (t+ 3 sin t, 2 cos t, 3t− sin t), t ∈ R son congruentes. Si es as´ obtenga la isometr´ ı ıa. Sean α, β : I → R3 dos curvas regulares congruentes tales que k(s) > 0 para todo s ∈ I. Pruebe que existe una unica isometr´ F tal que F ◦α = β, excepto ´ ıa cuando τ = 0 en este caso existen exactamente...