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ELEMENTOS DE CALCULO VECTORIAL
MANUEL DEL PINO

Comenzamos por revisar algunos conceptos b´sicos concernientes a integraci´n
a
o
en curvas (objetos unidimensionales en R2 y R3 ) y en superficies (objetos de dos
dimensiones en R3 ).
Una curva continua en RN es un par (C, γ), donde C = γ([a, b]) y γ es una funci´n
o
continua γ : [a, b] → RN , llamada una parametrizaci´n de C,
o

γ1 (t)
 . 
γ(t) =  . 
.
γN (t)
Por simplicidad notacional, denotamos a menudo una curva (en que la parametrizaci´n
o
est´ subentendida) simplemente C. La curva se llama simple si no tiene autoa
intersecciones, esto es si su parametrizaci´n es inyectiva. Llamamos a C una curva
o
de clase C 1 si su parametrizaci´n γ : [a, b] → RN es continuamente diferenciable y
o
tal que


γ1(t)
 . 
γ (t) =  .  = 0 para todo t ∈ [a, b].
.
γN (t)
Esta ultima condici´n hace que la curva sea suave, en el sentido de tener una
´
o
recta tangente en cada uno de sus puntos: En x0 = γ(t0 ) la recta tangente es
aqu´lla de ecuaci´n
e
o
x = x0 + sγ (t0 ), s ∈ R
γ (t0 ) = 0 es un vector tangente a la curva. F´
ısicamente una curva C puede representar la trayectoria recorrida poruna part´
ıcula cuya posici´n en el instante t
o
es el punto x = γ(t). El vector γ (t) representa la velocidad de la part´
ıcula en
ese instante. Es intuitivamente claro que si la part´
ıcula se detiene en un instante
dado, la trayectoria podr´ perder suavidad. Por ejemplo: γ(t) = (t3 , t2 ) Satisface
ıa
γ (0) = 0 y la curva C est´ constituida por los puntos del plano (x, y) con ecuaci´na
o
2
3 . Este lugar geom´trico tiene una ”punta”, no siendo suave en el origen.
y = |x|
e
En la pr´ctica, consideraremos en este curso curvas C simples que sean de clase
a
C 1 por tramos, esto es, que admitan una parametrizaci´n continua γ : [a, b] → RN
o
tales que para ciertos puntos t0 = a < t1 < . . . < tm = b se tenga que las curvas Ci =
γ([ti , ti+1 ]) sean de clase C 1 . Unacurva se denomina cerrada si su parametrizaci´n
o
satisface γ(a) = γ(b). Le llamaremos cerrada simple si la restricci´n de la funci´n
o
o
γ al intervalo (a, b] es inyectiva.
Debemos observar que una curva dada puede ser recorrida en dos sentidos opuestos, ya que si la parametrizaci´n γ : [a, b] → RN de C le recorre en un sentido,
o
˜
γ(t) := γ(b + a − t) lo hace en el sentido opuesto. Alsentido en el cual la curva es
1

2

MANUEL DEL PINO

recorrido por la parametrizaci´n le llamamos orientaci´n. A la curva parametrizada
o
o
por ˜ le llamamos a veces C − o −C.
γ
0.1. Concatenaci´n de curvas. Si γ1 : [a1 , b1 ] → RN , γ2 : [a2 , b2 ] → RN , son
o
parametrizaciones C 1 por tramos, de curvas C1 y C2 , tales que γ(b1 ) = γ(a2 ) entonces γ : [a1 , b1 + b2 − a2 ] → RNdefinida como
t ∈ [a1 , b1 ]
t ∈ [b1 , b1 + b2 − a2 ]

γ1 (t)
γ1 (a2 + t − b1 )

γ(t) =

La curva parametrizada por γ (cuyo recorrido es C1 ∪ C2 ) se denomina C1 + C2 . En
modo inductivo se define la concatenaci´n de k curvas Ci como C1 + · · · + Ck .
o
0.2. Integraci´n en Curvas. Comenzamos por definir la longitud de la curva
o
simple de clase C 1 C, parametrizada por γ, en el modo siguiente:b

(C) =

γ (t) dt
a

Expl´
ıcitamente,
γ (t) =

γ1 (t)2 + · · · + γN (t)2

El elemento de longitud d (t) est´ naturalmente representado por la longitud del
a
”elemento vectorial de trayectoria” γ(t + dt) − γ(t), la que escribimos
γ(t + dt) − γ(t)
dt

d (t) = γ(t + dt) − γ(t) =

dt = γ (t) dt.

Sea f : C → R una funci´n continua. Se define la integral de f sobre C a lacantidad
o
b

f (x)d :=
C

f (γ(t)) γ (t) dt.
a

Si f (x) designa densidad de masa (masa por unidad de longitud) en el alambre C,
en el punto x de ´ste, la cantidad C f d representa la masa total del alambre.
e
Como es natural, la noci´n de integral sobre la curva C es independiente de la
o
˜ a b]
parametrizaci´n utilizada. Si γ : [˜, ˜ → RN es otra parametrizaci´n inyectiva de
o...