De Todo

1 Relaciones de orden
Sea R una relaci´on binaria en un conjunto A. Si R satisface las
propiedades reflexiva, antisim´etrica y transitiva se dice que R es
una relaci´on de orden. En este caso si ay b son elementos de
A tales que aRb, lo denotaremos por a · b.
Si · verifica la propiedad de que dados a y b en A, entonces
a · b o b · a, entonces la relaci´on · se denomina de orden
total.Sean A y B dos conjuntos tales que B µ A y · una relaci´on
de orden en A. Podemos entonces definir varios elementos notables
de A:
a) Elemento minimal de A es todo aquel elemento a 2 A tal
que si b· a entonces a = b.
b) Elemento maximal de A es todo aquel elemento a 2 A tal
que si a · b entonces a = b.
c) M´ınimo de A es el elemento a de A tal que a · b para todo
b 2 A.
d) M´aximo de A esel elemento a de A tal que b · a para
todo b 2 A.
e) Cota inferior de B es cualquier elemento a 2 A tal que
a · b para todo b 2 B.
f) Cota superior de B es cualquier elemento a 2 A tal que
b · apara todo b 2 B.
g) ´Infimo de B, es el m´aximo de las cotas inferiores de B.
h) Supremo de A, es el m´ınimo de las cotas superiores de B.
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2 Ret´ıculos
Definici´on 2.1 Sea L un conjuntoparcialmente ordenado. Se
dice que L es un semiret´ıculo inferior (resp. superior) si para
cualesquiera x e y elementos de L, existen el ´ınfimo, inf(fx; yg)
(resp. el supremo, sup(fx; yg)) del conjuntofx; yg.
Un conjunto ordenado que es a la vez un semiret´ıculo inferior
y superior se denomina un ret´ıculo.
Ejemplos. a)El conjunto de los n´umeros enteros ZZ con la
relaci´on de orden usual.
b) Elconjunto de los divisores (en IN) de un n´umero natural
n, D(n), con la relaci´on aRb si y s´olo si ”a divide a b”
es un conjunto parcialmente ordenado. Adem´as, se tiene que
inf(fa; bg) = (a; b)y sup(fa; b)g = m:c:m(a; b).
c) Sea X un conjunto y A = P(X) el conjunto de todos los
subconjuntos de X. A con la relaci´on de inclusic´on.
Definici´on 2.2 Un semigrupo se llama una banda si...