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Teoría de la medida


Una medida aplica ciertos subconjuntos (pertenecientes a una σ-álgebra) en valores del intervalo [0, ∞].
La teoría de la medida es una rama del análisis real que investiga las σ-álgebras, las medidas,funciones medibles e integrales. Es de importancia central en probabilidad y en estadística.
En matemática, una medida es una función que asigna un número real positivo ocero, interpretable como un "intervalo", un "área", un "volumen", o una "probabilidad", a los subconjuntos de un conjunto dado. El concepto es importante para el análisis matemático, la geometría y para la teoría de la probabilidad.
A menudo, el ambicioso objetivo de asignar una medida a todo subconjunto del conjunto base se revela inalcanzable. Solo será posible, o interesante en algunos casos,asignar medida a ciertas familias de subconjuntos, a los que llamaremos medibles. Las condiciones de consistencia que deben cumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el concepto auxiliar de σ-álgebra.

Índice
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Definiciones formales[editar]
Formalmente, una medida μ es una función definida en una σ-álgebra Σ sobre un conjunto X con valores en el intervalo realextendido[0, ∞], que verifica:
La medida del conjunto vacío es cero: μ() = 0.
Si E1, E2, E3, ... una sucesión contable de conjuntos disjuntos dos a dos de la σ-álgebra Σ y E es su unión, entonces μ(E) es igual a la suma de las medidas de los Ek; esto es,

La terna (X, Σ, μ) se denomina espacio de medida, y los elementos de Σ se denominan conjuntos medibles.
Propiedades[editar]
Variaspropiedades pueden deducirse directamente de la definición.
Monotonía[editar]
μ es monótona: si  y  son dos conjunto medibles, con , entonces .
Uniones contables[editar]
Si E1, E2, E3, ... es una sucesión contable de conjuntos medibles, su unión será también medible (por la definición de σ-álgebra), y

Si se tiene además que En ⊆ En+1 para todo n, entonces

Intersecciones contables[editar]Si E1, E2, E3, ...es una sucesión contable de conjuntos medibles, y En+1 ⊆ En para todo n, entonces la intersección de los conjuntosEn es medible (de nuevo, por la definición de σ-álgebra); más aún, si al menos uno de los En tiene medida finita, entonces

Esta igualdad no es necesariamente cierta si ninguno de los En no tiene medida finita; por ejemplo, para cada n ∈ N, tómese

Todos estosconjuntos tienen medida infinita, de modo que el límite al lado derecho de la igualdad es ∞; sin embargo, su intersección es vacía y por lo tanto tiene medida 0.
Medidas sigma-finitas
 definida en una σ-álgebra Σ sobre un conjunto X con valores en el intervalo real extendido[0, ∞], que verifica:
La medida del conjunto vacío es cero: μ() = 0.
Si E1, E2, E3, ... una sucesión contable de conjuntosdisjuntos dos a dos de la σ-álgebra Σ y E es su unión, entonces μ(E) es igual a la suma de las medidas de los Ek; esto es,

La terna (X, Σ, μ) se denomina espacio de medida, y los elementos de Σ se denominan conjuntos medibles.
Número índice
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Un número índice es una medida estadística que permite estudiar las fluctuaciones ovariaciones de una magnitud o de más de una en relación al tiempo o al espacio. Los índices más habituales son los que realizan las comparaciones en el tiempo, por lo que, como veremos más adelante, los números índices son en realidad series temporales.
Aproximación[editar]
Los números índices nacen de la necesidad de conocer en profundidad la magnitud de un fenómeno y poder realizar comparaciones delmismo en distintos territorios o a lo largo del tiempo. Una forma inicial de resolver el problema es referir cada situación a la anterior, pero esto no hace viable la posibilidad de comparaciones significativas, al menos directamente, salvo en lo concerniente a dos de ellas inmediatas. Por esto es más conveniente escoger una situación determinada como punto de referencia inicial, para remitir...